1. Hệ thức vi – ét

Phương trình bậc hai  + bx + c = 0 (a ≠ 0) có nghiệm dù đó là hai nghiệm phân biệt hay nghiệm kép thì ta đều có thể viết được dưới dạng:

Khi đó nếu ,  là hai nghiệm của phương trình  + bx + c = 0 (a ≠ 0) thì ta có:

2. Ứng dụng của định lý Vi – ét

a) Tính nhẩm nghiệm

   + Nếu phương trình  + bx + c = 0 (a ≠ 0) có a + b + c = 0 thì phương trình có một nghiệm là  = 1 và nghiệm còn lại là  = c/a

   + Nếu phương trình  + bx + c = 0 (a ≠ 0) có a - b + c = 0 thì phương trình có một nghiệm là  = -1 và nghiệm còn lại là  = -c/a

b) Tìm hai số khi biết tổng và tích.

   + Nếu hai số có tổng bằng S và tích bằng P thì hai số đó là nghiệm của phương trình bậc hai  - Sx + P = 0

   + Điều kiện để có hai số đó là  - 4P ≥ 0

3. Ví dụ cụ thể

Câu 1:

 Cho phương trình  - 3x + 2 = 0. Tính giá trị của biểu thức P = 2( + ) - .

Hướng dẫn:

Ta có: Δ =  - 4.1.2 = 1 ⇒ phương trình có hai nghiệm phân biệt , .

Áp dụng hệ thức Vi – ét ta có:

Khi đó P = 2( + ) - . = 2.3 - 2 = 4. Vậy P = 4

Câu 2:

 Tìm hai số khi biết tổng hai số đó là S = 5 và tích của hai số đó là P = 6 ?

Hướng dẫn:

Gọi ,  là hai số cần tìm, khi đó ,  là nghiệm của phương trình  - 5x + 6 = 0

Ta có Δ =  - 4.1.6 = 25 - 24 = 1 > 0

Khi đó phương trình có hai nghiệm là:

Vậy hai số cần tìm là 3 và 2.

B. Bài tập tự luận

Câu 1:

 Tìm hai số biết tổng của chúng bằng 5 và tích của chúng bằng 6.

Lời giải :

Gọi hai số đó là  và

Vậy hai số cần tìm là 2 và 3.

Câu 2:

 Tìm hai số biết hiệu của chúng bằng 11 và tích của chúng bằng 60.

Lời giải :

Gọi hai số cần tìm là a, b

Các bài Tổng hợp Lý thuyết và Bài tập Toán lớp 9 có đáp án và lời giải