- Để rút gọn biểu thức chứa căn bậc hai, ta cần vận dụng phối hợp các phép tính và các phép biến đổi đã biết.

- Khi rút gọn một dãy các phép tính cộng, trừ, nhân, chia, lũy thừa và khai phương thì thứ tự thực hiện: khai căn trước rồi đến lũy thừa, sau đó đến nhân, chia, cộng, trừ

Ví dụ 1:

 Chứng minh đẳng thức \((1+\sqrt{2}+\sqrt{3})(1+\sqrt{2}-\sqrt{3})=2 \sqrt{2}\)

Giải:

Ta có:

\((1+\sqrt{2}+\sqrt{3})(1+\sqrt{2}-\sqrt{3})=(1+\sqrt{2})^{2}-(\sqrt{3})^{2}\)

\(=1^{2}+2 \cdot 1 \cdot \sqrt{2}+(\sqrt{2})^{2}-3=1+2 \sqrt{2}+2-3=2 \sqrt{2}\)

Vậy \((1+\sqrt{2}+\sqrt{3})(1+\sqrt{2}-\sqrt{3})=2 \sqrt{2}\)

Ví dụ 2:

 Rút gọn biểu thức \(\frac{x^{2}-3}{x+\sqrt{3}} ; x \neq-\sqrt{3}\)

Giải:

Ta có:

\(\frac{x^{2}-3}{x+\sqrt{3}}=\frac{(x-\sqrt{3})(x+\sqrt{3})}{x+\sqrt{3}}=\sqrt{x}-3\)

Ví dụ 3:

 Rút gọn biểu thức \(5 \sqrt{\frac{1}{5}}+\frac{1}{2} \sqrt{20}+\sqrt{5}\)

Giải:

Ta có:

\(5 \sqrt{\frac{1}{5}}+\frac{1}{2} \sqrt{20}+\sqrt{5}=\sqrt{\frac{5^{2}}{5}}+\sqrt{\frac{20}{2^{2}}}+\sqrt{5}\)

\(=\sqrt{5}+\sqrt{5}+\sqrt{5}=3 \sqrt{5}\)

Ví dụ 4:

 Chứng minh đẳng thức \(\frac{3}{2} \sqrt{6}+2 \sqrt{\frac{2}{3}}-4 \sqrt{\frac{3}{2}}=\frac{\sqrt{6}}{6}\)

Giải:

Ta có:

\(\frac{3}{2} \sqrt{6}+2 \sqrt{\frac{2}{3}}-4 \sqrt{\frac{3}{2}}=\frac{3}{2} \sqrt{6}+2 \cdot \sqrt{\frac{2 \cdot 3}{3^{2}}}-4 \cdot \sqrt{\frac{3 \cdot 2}{2^{2}}}\)

\(=\frac{3}{2} \cdot \sqrt{6}+2 \frac{\sqrt{6}}{3}-4 \frac{\sqrt{6}}{2}=\frac{3}{2} \sqrt{6}+\frac{2}{3} \sqrt{6}-2 \sqrt{6}\)

\(=\sqrt{6} \cdot\left(\frac{3}{2}+\frac{2}{3}-2\right)=\sqrt{6} \cdot \frac{1}{6}=\frac{\sqrt{6}}{6}\)