1. Định lí

Với a không âm và b dương thì ta có: \(\sqrt{\frac{a}{b}}=\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}\)

Ví dụ:

 Tính

a) \(\sqrt{\frac{16}{9}}\); b) \(\sqrt{\frac{25}{4}}\); c) \(\sqrt{\frac{9}{100}}\); d) \(\sqrt{\frac{36}{49}}\)

Lời Giải:

a) Ta có: \(\sqrt{\frac{16}{9}}=\frac{\sqrt{16}}{\sqrt{9}}=\frac{4}{3}\)

b) Ta có: \(\sqrt{\frac{25}{4}}=\frac{\sqrt{25}}{\sqrt{4}}=\frac{5}{2}\)

c) Ta có: \(\sqrt{\frac{9}{100}}=\frac{\sqrt{9}}{\sqrt{100}}=\frac{3}{10}\)

d) Ta có: \(\sqrt{\frac{36}{49}}=\frac{\sqrt{36}}{\sqrt{49}}=\frac{6}{7}\)

2. Áp dụng

+ Quy tắc khai phương một thương

Muốn khai phương một thương a/b , trong đó số a không âm và số b dương, ta có thể lần lượt khai căn của các số a và số b, lấy kết quả thứ nhất chia cho kết quả thứ hai.

\(\sqrt{\frac{a}{b}}=\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}\)

+ Quy tắc chia hai căn bậc hai

Muốn chia hai căn bậc hai của số a không âm và số b dương, ta có thể lấy số a chia cho số b rồi khai phương kết quả vừa tìm được.

\(\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}=\sqrt{\frac{a}{b}}\)

Ví dụ 1:

 Thực hiện phép tính các giá trị sau: \(\frac{\sqrt{52}}{\sqrt{117}} ; \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{18}}\) ;

Giải:

Ta có: \(\frac{\sqrt{52}}{\sqrt{117}}=\sqrt{\frac{52}{117}}=\sqrt{\frac{4}{9}}=\frac{2}{3}\)

Ta có: \(\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{18}}=\sqrt{\frac{2}{18}}=\sqrt{\frac{1}{9}}=\frac{1}{3}\)

Ví dụ 2:

 Rút gọn biểu thức sau:

a) a) \(5 x y \cdot \sqrt{\frac{25 x^{2}}{y^{6}}}\) với \(x>0, y \neq 0\)

b) \(0,2 x^{3} y^{3} \sqrt{\frac{16}{x^{4} y^{8}}}\) Với \(x \neq 0, y \neq 0\)

Giải:

a) Ta có:

\(5 x y \cdot \sqrt{\frac{25 x^{2}}{y^{6}}}=5 x y \cdot \frac{\sqrt{25 x^{2}}}{\sqrt{y^{6}}}=5 x y \cdot \frac{5|x|}{y^{3}}=\frac{25 x^{2} y}{y^{3}}=\frac{25 x^{2}}{y^{2}}\)

b) Ta có:

\(0,2 x^{3} y^{3} \sqrt{\frac{16}{x^{4} y^{8}}}=0,2 x^{3} y^{3} \cdot \frac{\sqrt{16}}{\sqrt{x^{4} y^{8}}}=0,2 x^{3} y^{3} \cdot \frac{4}{\sqrt{x^{4}} \cdot \sqrt{y^{8}}}\)

\(=0,2 x^{3} y^{3} \cdot \frac{4}{x^{2} y^{4}}=\frac{0,8 x^{3} y^{3}}{x^{2} y^{4}}=\frac{0,8 x}{y}\)