I. CĂN THỨC BẬC HAI

1. Định nghĩa

   Với A là một biểu thức đại số, người ta gọi \(\sqrt{A}\) là căn thức bậc hai của A, còn A là biểu thức lấy căn hay còn gọi là biểu thức dưới dấu căn.

2. Điều kiện có nghĩa (hay có nghĩa) của một căn thức bậc hai

   \(\sqrt{A}\) xác định(có nghĩa) ⇔ A ≥ 0

3. Ví dụ cụ thể 

- \(\sqrt{3x}\) xác định ⇔ 3x ≥ 0 ⇔ x ≥ 0.

- \(\sqrt{3-7x}\) xác định ⇔ 3 - 7x ≥ 0 ⇔ x ≤ \(\frac{3}{7}\).

- \(\sqrt{2-3x}\) xác định ⇔ 2 - 3x ≥ 0 ⇔ x ≤ \(\frac{2}{3}\).

- \(\sqrt{x-6}\) xác định ⇔ x - 6 ≥ 0 ⇔ x ≥ 6.

- \(\sqrt{18-9x}\) xác định ⇔ 18 - 9x ≥ 0 ⇔ x ≤ 2.

II. HẰNG ĐẲNG THỨC \(\sqrt {A^2}=|\mathrm{A}|\)

Muốn khai căn một biểu thức, ta dùng hằng đẳng thức \(\sqrt {A^2}=|\mathrm{A}|\)

Ví dụ 1:

 Rút gọn biểu thức \(\sqrt{(3-\sqrt{11})^{2}}\); \(3 \sqrt{(a-2)^{2}}\) với a < 2

Giải:

Ta có: \(\sqrt{(3-\sqrt{11})^{2}}=|3-\sqrt{11}|=\sqrt{11}-3\) vì \(\sqrt{11}>3\)

Ta có: \(\sqrt{(a-2)^{2}}=|a-2|=2-a\) vì a < 2

Khi đó: \(3 \sqrt{(a-2)^{2}}=3(2-a)=6-3 a\)

Ví dụ 2:

 Tìm x biết \(\sqrt{x^{2}}=|-7|\); \(\sqrt{9 x^{2}}=|-12|\).

Giải:

Ta có: \(\sqrt{x^{2}}=|-7|=7 \Leftrightarrow x^{2}=49 \Leftrightarrow x=\pm 7\)

Ta có: \(\sqrt{9 x^{2}}=|-12|=12\)

\(\Leftrightarrow 9 x^{2}=144 \Leftrightarrow x^{2}=16 \Leftrightarrow x=\pm 4\)

III. MỘT SỐ KIẾN THỨC CẦN NHỚ

1. Giá trị tuyệt đối

   • Định nghĩa \(|A|= \begin{cases}A, & \text { khi } A \geq 0 \\ -A, & \text { khi } A<0\end{cases}\) 

   • Hệ quả

\(|\mathrm{A}| \geq 0, \forall \mathrm{A}\)

\(|\mathrm{A}|=|-\mathrm{A}|\)

\(|A|=|B| \Leftrightarrow\left[\begin{array}{l}A=B \\ A=-B\end{array}\right.\)

\(|\mathrm{A}|=\mathrm{A} \Leftrightarrow \mathrm{A} \geq 0 ;|\mathrm{A}|=-\mathrm{A} \Leftrightarrow \mathrm{A} \leq 0 ;|\mathrm{A}|=0 \Leftrightarrow \mathrm{A}=0\)

2. Dấu của một tích, một thương

• \(A \cdot B \geq 0 \Leftrightarrow\left\{\begin{array}{l}A \geq 0 \\ B \geq 0\end{array}\right.\) hoặc \(\left\{\begin{array}{l}A \leq 0 \\ B \leq 0\end{array}\right.\)
• \(A . B \leq 0 \Leftrightarrow\left\{\begin{array}{l}A \geq 0 \\ B \leq 0\end{array}\right.\) hoặc \(\left\{\begin{array}{l}A \leq 0 \\ B \geq 0\end{array}\right.\)
• \(\frac{A}{B} \geq 0 \Leftrightarrow\left\{\begin{array}{l}A \geq 0 \\ B>0\end{array}\right.\) hoặc \(\left\{\begin{array}{l}A \leq 0 \\ B<0\end{array}\right.\)
• \(\frac{A}{B} \leq 0 \Leftrightarrow\left\{\begin{array} { l } { A \geq 0 } \\{ B < 0 }\end{array} \text { hoặc } \left\{\begin{array}{l}A \leq 0 \\B>0\end{array}\right.\right.\)
• \(\frac{1}{A}>0 \Leftrightarrow A>0\)

B. PHƯƠNG PHÁP GIẢI TOÁN

DẠNG 1:

 Tìm điều kiện để một để một căn thức bậc hai xác định.

   • \(\sqrt{A}\) xác định (hay có nghĩa) ⇔ A ≥ 0

   • Giải bất phương trình A ≥ 0

   • Kết luận.

DẠNG 2:

 Khai căn một biểu thức – Tính giá trị một biểu thức chứa căn

   • Khai căn nhờ hằng đẳng thức \(\sqrt {A^2}=|\mathrm{A}|\)

   • Rút gọn

DẠNG 3:

 Phân tích thành nhân tử

   • Viết A ≥ 0 thành \(\sqrt {A^2}\)

   • Sử dụng A² – B² = (A - B)(A + B)

   • Sử dụng A² ± 2AB + B² = (A ± B)²   

   • Thêm, bớt tạo thành hằng đẳng thức

DẠNG 4:

 Giải phương trình

   • Khai căn một biểu thức

   • Giải phương trình chứa dấu giá trị tuyệt đối