Sách Giải Bài Tập và SGK

Lý thuyết

I. CĂN BẬC HAI

1. Khái niệm

Căn bậc hai của một số a không âm là số x sao cho x2 = a

2. Tính chất

- Số âm không có căn bậc hai

- Số 0 có đúng một căn bậc hai đó chính là số 0, ta viết \(\sqrt{0}\) = 0

- Số dương a có đúng hai căn bậc hai là hai số đối nhau; số dương ký hiệu là \(\sqrt{a}\), số âm ký hiệu là -\(\sqrt{a}\)

3. Ví dụ cụ thể

- Số 25 có hai căn bậc hai là 5 và -5.

- Số 7 có hai căn bậc hai là \(\sqrt{7}\) và -\(\sqrt{7}\)

- Số -1 không có căn bậc hai.

II. CĂN BẬC HAI SỐ HỌC

1. Định nghĩa

- Với số dương a, số \(\sqrt{a}\) được gọi là căn bậc hai số học của a.

- Số 0 cũng được gọi là căn bậc hai số học của 0.

- Ta viết x = \(\sqrt{a}\) \(\Leftrightarrow\left\{\begin{array}{l} x \geq 0 \\ x^{2}=a \end{array}\right.\)

Ví dụ:

- Căn bậc hai số học của 4 là \(\sqrt{4}\) (= 2).

Căn bậc hai số học của 5 là \(\sqrt{5}\) (≈ = 2,236067977...)

Ví dụ:

 Tìm căn bậc hai số học của các số sau đây: 121; 144; 361; 400

Lời giải:

+ Ta có: \(\sqrt{121}\) = 11 vì 11 > 0 và 112 = 121

+ Ta có: \(\sqrt{144}\) = 12 vì 12 > 0 và 122 = 144

+ Ta có: \(\sqrt{361}\) = 19 vì 19 > 0 và 192 = 361

+ Ta có: \(\sqrt{400}\) = 20 vì 20 > 0 và 202 = 400

2. Phép khai phương

- Phép khai phương là phép toán tìm căn bậc hai số học của số không âm (gọi tắt là khai phương).

- Khi biết một căn bậc hai số học của một số, ta dễ dàng xác định được các căn bậc hai của nó.

Ví dụ:

Căn bậc hai số học của 49 là 7 nên 49 có hai căn bậc hai là 7 và -7.

Căn bậc hai số học cuả 100 là 10 nên 100 có hai căn bậc hai là 10 và -10

Căn bậc hai số học của 144 là 12 nên 144 có hai căn bậc hai là 12 và -12

3. Một số kết quả cần nhớ

- Với a ≥ 0 thì a = \((\sqrt{a})^{2}\).

- Với a ≥ 0, nếu x ≥ 0 và x2 = a thì x = \(\sqrt{a}\).

- Với a ≥ 0 và x2 = a thì x = ±\(\sqrt{a}\).

III. SO SÁNH CÁC CĂN BẬC HAI SỐ HỌC.

1. Định lý

Với hai số a và b không âm, ta có: a > b ⇔ \(\sqrt{a}\) > \(\sqrt{b}\)

2. Ví dụ cụ thể:

 So sánh

- 1 với \(\sqrt{2}\).

Hướng dẫn:

Ta có 1 < 2 ⇒ \(\sqrt{1}\) <\(\sqrt{2}\) ⇒ 1 < \(\sqrt{2}\).

- 3 với \(\sqrt{7}\).

Hướng dẫn:

Ta có 9 > 7 ⇒ \(\sqrt{9}\) > \(\sqrt{7}\) ⇒ 3 > \(\sqrt{7}\).

Ví dụ 1:

So sánh:

a) 2 và \(\sqrt{3}\)            

b) 7 và \(\sqrt{51}\)

Lời giải

a) Ta có: 2 = \(\sqrt{4}\) mà 4 > 3 nên \(\sqrt{4}\) > \(\sqrt{3}\) tức 2 > \(\sqrt{3}\)

b) Ta có: 7 = \(\sqrt{49}\) mà 49 < 51 nên \(\sqrt{49}\) < \(\sqrt{51}\) tức 7 < \(\sqrt{51}\)