Câu 1

Xét tam giác ABC vuông tại A có \(\widehat{B}\) = α. Chứng minh rằng

a) \(\alpha=45^{\circ} \Leftrightarrow \frac{\mathrm{AC}}{\mathrm{AB}}=1\);

b) \(\alpha=60^{\circ} \Leftrightarrow \frac{\mathrm{AC}}{\mathrm{AB}}=\sqrt{3}\).

Lời giải

a)

Tam giác ABC vuông tại A có \(\widehat{B}=45^{0}\) ⇒ΔABC vuông cân tại A

\(⇒ AB = AC ⇒ \frac{AB}{AC}=1\)

b)

Kẻ trung tuyến AD của tam giác vuông ABC

⇒ AD = BD = \(\frac{BC}{2}\)

Tam giác ABD có: AD = BD, \(\widehat{ABD}=60^{0}\)

⇒ ΔABD là tam giác đều

⇒ AB = AD = \(\frac{BC}{2}\) ⇒ BC = AB

Áp dụng định lí Pytago vào tam giác ABC vuông tại A có:

\(A B^{2} +A C^{2}= B C^{2}\)

\(\Leftrightarrow A B^{2}+A C^{2=4} A B^{2}\)

\(\Leftrightarrow A C^{2}=3 A B^{2} \Leftrightarrow A C=\sqrt{3} A B\)

\(\Leftrightarrow A C / A B=\sqrt{3}\)