Câu 1:

Nêu điều kiện để x là căn bậc hai số học của số a không âm. Cho ví dụ.

Trả lời:

Để x là căn bậc hai số học của số a không âm là x ≥ a và \(x^{2}=a\).

Ví dụ 2 là căn bậc hai số học của 4 vì 2 > 0 và \(2^{2}\) = 4.

Câu 2:

Chứng minh \(\sqrt{a^{2}}=|a|\) với mọi số a.

Trả lời:

Ta xét hai trường hợp

- Nếu \(a>0 \Rightarrow|a|=a\) nên \(|a|^{2}=a^{2}\).

- Nếu a \(<0 \Rightarrow|a|=\)-a nên \(|a|^{2}=(-\mathrm{a})^{2}=\mathrm{a}^{2}\)

Trong cả hai trường hợp ta đều có \((|a|)^{2}=a^{2}\) (1)

Mặt khác \(|a| \geq 0\) (2)

Từ (1) và (2) suy ra \(|a|\) chính là căn bậc hai số học của \(x^{2}\) hay \(\sqrt{a^{2}}=|a|\)

Câu 3:

Biểu thức A phải thỏa mãn điều kiện gì để \(\sqrt{A}\) xác định?

Trả lời:

\(\sqrt{A}\) xác định khi A > 0 hay nói cách khác : điều kiện xác định của căn bậc hai là biểu thức lấy căn không âm.

Câu 4:

Phát biểu và chứng minh định lí về mối liên hệ giữa phép nhân và phép khai phương. Cho ví dụ.

Trả lời:

Định lí: Nếu \(\mathrm{a} \geq 0\) và \(\mathrm{b} \geq 0\) thì \(\sqrt{a b}=\sqrt{a} \cdot \sqrt{b}\) Chứng minh:

Vì \(\mathrm{a} \geq 0, \mathrm{~b} \geq 0 \Rightarrow \mathrm{ab} \geq 0\), do đó

\(\sqrt{a}, \sqrt{b}, \sqrt{a b}\) đều xác định.

Ta có: \((\sqrt{a} \cdot \sqrt{b})^{2}=(\sqrt{a})^{2} \cdot(\sqrt{b})^{2}=a b\)

Do \(\sqrt{a} \geq 0, \sqrt{b} \geq 0 \Rightarrow \sqrt{a} \cdot \sqrt{b} \geq 0\)

Vậy \(\sqrt{a}, \sqrt{b}\) là căn bậc hai số học của tích a.b : \(\sqrt{a b}=\sqrt{a} \cdot \sqrt{b}\)

Ví dụ : \(\sqrt{25.81}=\sqrt{25} \cdot \sqrt{81}=5.9=45\)

\(\sqrt{72} \cdot \sqrt{8}=\sqrt{72.8}=\sqrt{576}=24\)

Câu 5:

Phát biểu và chứng minh định lí về mối liên hệ giữa phép chia và phép khai phương. Cho ví dụ.

Trả lời:

Định lí: Nếu \(\mathrm{a} \geq 0 \text { và } \mathrm{b} \geq 0 \text { thì } \sqrt{\frac{a}{b}}=\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}\)

Chứng minh

Do \(a \geq 0\) và \(b>0\) nên \(\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}\) được xác định

\(\left(\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}\right)^{2}=\frac{(\sqrt{a})^{2}}{(\sqrt{b})^{2}}=\frac{a}{b}\)

Mặt khác \(\sqrt{a} \geq 0\) và \(\sqrt{b}>0\) nên \(\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}} \geq 0\) (2) Từ (1) và (2) suy ra \(\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}\) là căn bậc hai số học của \(\sqrt{\frac{a}{b}}\) hay \(\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}\) với \(\mathrm{a} \geq 0\) và \(\mathrm{b}>0\).

Ví dụ: \(\sqrt{\frac{36}{100}}=\frac{\sqrt{36}}{\sqrt{100}}=\frac{6}{10}=0,6\)

\(\frac{\sqrt{162}}{\sqrt{2}}=\sqrt{\frac{162}{2}}=\sqrt{81}=9\)