Câu 9:

Cho hình vuông ABCD. Gọi I là một điểm nằm giữa A và B. Tia DI và tia CB cắt nhau ở K. Kẻ đường thẳng qua D, vuông góc với DI. Đường thẳng này cắt đường thẳng BC tại L. Chứng minh rằng:

a) Tam giác DIL là một tam giác cân

b) Tổng \(\frac{1}{\mathrm{DI}^{2}}+\frac{1}{\mathrm{DK}^{2}}\) không đổi khi I thay đổi trên cạnh AB.

Lời giải:

a) Xét hai tam giác vuông ADI và CDL có:

AD = CD (cạnh hình vuông)

\(\widehat{\mathrm{AD} \mathrm{I}}=\widehat{\mathrm{CDL}}\) (cùng phụ \(\widehat{\mathrm{DC}}\) )

Nên ΔADI = ΔCDL (cạnh góc cuông và góc nhọn)

Suy ra DI = DL hay ΔDIL cân. (đpcm)

b) Trong tam giác DKL vuông tại D với đường cao DC. Theo định lí 4, ta có:

\(\frac{1}{\mathrm{DL}^{2}}+\frac{1}{\mathrm{DK}^{2}}=\frac{1}{\mathrm{DC}^{2}}\)

Vì DI \(=\) DL nên \(\frac{1}{\mathrm{DI}^{2}}+\frac{1}{\mathrm{DK}^{2}}=\frac{1}{\mathrm{DC}^{2}}\)

DC không đổi nên tổng

\(\frac{1}{\mathrm{DI}^{2}}+\frac{1}{\mathrm{DK}^{2}}\)

không đổi khi I thay đổi trên cạnh AB. (đpcm)