Câu 76:

Cho biểu thức \(\mathrm{Q}=\frac{a}{\sqrt{a^{2}-b^{2}}}-\left(1+\frac{a}{\sqrt{a^{2}-b^{2}}}\right): \frac{b}{a-\sqrt{a^{2}-b^{2}}} \text { với } \mathrm{a}>\mathrm{b}>0\)

a) Rút gọn Q.

b) Xác định giá trị của Q khi a = 3b.

Lời giải:

a) Rút gọn

\(\mathrm{Q}=\frac{a}{\sqrt{a^{2}-b^{2}}}-\left(1+\frac{a}{\sqrt{a^{2}-b^{2}}}\right): \frac{b}{a-\sqrt{a^{2}-b^{2}}}\)

\(=\frac{a}{\sqrt{a^{2}-b^{2}}}-\frac{a+\sqrt{a^{2}-b^{2}}}{\sqrt{a^{2}-b^{2}}} \cdot \frac{a-\sqrt{a^{2}-b^{2}}}{b}\)

\(=\frac{a}{\sqrt{a^{2}-b^{2}}}-\frac{a^{2}-\left(\sqrt{a^{2}-b^{2}}\right)^{2}}{b \cdot \sqrt{a^{2}-b^{2}}}=\frac{a}{\sqrt{a^{2}-b^{2}}}-\frac{a^{2}-\left(a^{2}-b^{2}\right)}{b \cdot \sqrt{a^{2}-b^{2}}}\)

\(=\frac{a}{\sqrt{a^{2}-b^{2}}}-\frac{b^{2}}{b \sqrt{a^{2}-b^{2}}}=\frac{a}{\sqrt{a^{2}-b^{2}}}-\frac{b}{\sqrt{a^{2}-b^{2}}}\)

\(=\frac{a-b}{\sqrt{a^{2}-b^{2}}}=\frac{a-b}{\sqrt{(a-b)(a+b)}}=\frac{\sqrt{a-b}}{\sqrt{a+b}}\)

b) Thay a = 3b vào ta được:

\(\mathrm{Q}=\frac{\sqrt{3 b-b}}{\sqrt{3 b+b}}=\frac{\sqrt{2 b}}{\sqrt{4 b}}=\sqrt{\frac{2 b}{4 b}}=\sqrt{\frac{1}{2}}=\frac{\sqrt{2}}{2}\)