Câu 65:

Rút gọn rồi so sánh giá trị của M với 1, biết:

\(M=\left(\frac{1}{a-\sqrt{a}}+\frac{1}{\sqrt{a}-1}\right): \frac{\sqrt{a}+1}{a-2 \sqrt{a}+1}\) với a > 0 và a ≠ 1.

Lời giải:

Ta có:

\(M=\left(\frac{1}{a-\sqrt{a}}+\frac{1}{\sqrt{a}-1}\right): \frac{\sqrt{a}+1}{a-2 \sqrt{a}+1}\)

\(=\left(\frac{1}{\sqrt{a}(\sqrt{a}-1)}+\frac{1}{\sqrt{a}-1}\right): \frac{\sqrt{a}+1}{(\sqrt{a}-1)^{2}}\)

\(=\frac{1+\sqrt{a}}{\sqrt{a}(\sqrt{a}-1)} \cdot \frac{(\sqrt{a}-1)^{2}}{\sqrt{a}+1}\)

\(=\frac{\sqrt{a}-1}{\sqrt{a}}\)

\(=1-\frac{1}{\sqrt{a}}<1\)

M < 1

Vậy \(M =1-\frac{1}{\sqrt{a}}\) và \(M < 1\).