Câu 64:

Chứng minh các đẳng thức sau:

a) \(\left(\frac{1-\mathrm{a} \sqrt{\mathrm{a}}}{1-\sqrt{\mathrm{a}}}+\sqrt{\mathrm{a}}\right)\left(\frac{1-\sqrt{\mathrm{a}}}{1-\mathrm{a}}\right)^{2}=1\) với \(\mathrm{a} \geq 0\) và \(\mathrm{a} \neq 1\)

b) \(\frac{a+b}{b^{2}} \sqrt{\frac{a^{2} b^{4}}{a^{2}+2 a b+b^{2}}}=|a|\) với \(a+b>0\) và \(b \neq 0\).

Lời giải:

a) Biến đổi vế trái:

\(\left(\frac{1-a \sqrt{a}}{1-\sqrt{a}}+\sqrt{a}\right)\left(\frac{1-\sqrt{a}}{1-a}\right)^{2}\)

\(\frac{1-a \sqrt{a}+\sqrt{a}-a}{1-\sqrt{a}} \cdot \frac{(1-\sqrt{a})^{2}}{(1-a)^{2}}\)

\((1-a \sqrt{a}+\sqrt{a}-a) \frac{1-\sqrt{a}}{(1-a)^{2}}\)

\(\frac{1-a \sqrt{a}+\sqrt{a}-a-\sqrt{a}+a \cdot(\sqrt{a})^{2}-(\sqrt{a})^{2}+a \sqrt{a}}{(1-a)^{2}}\)

\(\frac{a^{2}-2 a+1}{(1-a)^{2}}=\frac{(a-1)^{2}}{(1-a)^{2}}\)

\(=\left(\frac{\mathrm{a}-1}{1-\mathrm{a}}\right)^{2}=(-1)^{2}=1=\mathrm{VP}(\mathrm{đpcm})\)

b) Biến đổi vế trái:

\(\mathrm{VT}=\frac{\mathrm{a}+\mathrm{b}}{\mathrm{b}^{2}} \sqrt{\frac{\mathrm{a}^{2} \mathrm{~b}^{4}}{\mathrm{a}^{2}+2 \mathrm{ab}+\mathrm{b}^{2}}}=\frac{\mathrm{a}+\mathrm{b}}{\mathrm{b}^{2}} \cdot \sqrt{\frac{\left(a \mathrm{~b}^{2}\right)^{2}}{(\mathrm{a}+\mathrm{b})^{2}}}\)

\(\frac{a+b}{b^{2}} \cdot \frac{\left|a b^{2}\right|}{|a+b|}=\frac{a+b}{b^{2}} \cdot \frac{b^{2} \cdot|a|}{a+b}=|a|=VP\)

(vì a + b > 0 nên |a + b| = a + b; \(b^{2}>0\))