Câu 61:

Chứng minh các đẳng thức sau:

a) \(\frac{3}{2} \sqrt{6}+2 \sqrt{\frac{2}{3}}-4 \sqrt{\frac{3}{2}}=\frac{\sqrt{6}}{6}\)

b) \(\left(x \sqrt{\frac{6}{x}}+\sqrt{\frac{2 x}{3}}+\sqrt{6 x}\right): \sqrt{6 x}=2 \frac{1}{3}\) với \(x>0\)

Lời giải:

a) Biến đổi vế trái:

\(VT=\frac{3}{2} \sqrt{6}+2 \sqrt{\frac{2}{3}}-4 \sqrt{\frac{3}{2}}=\frac{3}{2} \sqrt{6}+\frac{2}{3} \sqrt{3^{2} \cdot \frac{2}{3}}-2 \sqrt{2^{2} \cdot \frac{3}{2}}\)

\(=\frac{3}{2} \sqrt{6}+\frac{2}{3} \sqrt{6}-2 \sqrt{6}=\left(\frac{3}{2}+\frac{2}{3}-2\right) \sqrt{6}\)

\(=\frac{1}{6} \sqrt{6}=\frac{\sqrt{6}}{6}=\mathrm{VP}\)

Vậy \(\frac{3}{2} \sqrt{6}+2 \sqrt{\frac{2}{3}}-4 \sqrt{\frac{3}{2}}=\frac{\sqrt{6}}{6}\)

b) Biến đổi vế trái:

\(\mathrm{VT}=\left(x \sqrt{\frac{6}{x}}+\sqrt{\frac{2 x}{3}}+\sqrt{6 x}\right): \sqrt{6 x}\)

\(=\left(\sqrt{x^{2} \cdot \frac{6}{x}}+\sqrt{\frac{6 x}{3^{2}}}+\sqrt{6 x}\right): \sqrt{6 x}\)

\(=\left(\sqrt{6 x}+\frac{1}{3} \sqrt{6 x}+\sqrt{6 x}\right): \sqrt{6x}\)

\(=\frac{7}{3} \sqrt{6 x}: \sqrt{6 x}=\frac{7}{3}=2 \frac{1}{3}=VP\) (đpcm)