Sách Giải Bài Tập và SGK

Câu 54: Rút gọn biểu thức sau (giả thiết các biểu thức chữ đều có nghĩa): $\frac{2+\sqrt{2}}{1+\sqrt{2}}$

Câu 54:

Rút gọn biểu thức sau (giả thiết các biểu thức chữ đều có nghĩa):

\(\frac{2+\sqrt{2}}{1+\sqrt{2}} ; \frac{\sqrt{15}-\sqrt{5}}{1-\sqrt{3}} ; \frac{2 \sqrt{3}-\sqrt{6}}{\sqrt{8}-2} ; \frac{a-\sqrt{a}}{1-\sqrt{a}} ; \frac{p-2 \sqrt{\mathrm{p}}}{\sqrt{p}-2}\)

Lời giải:

\(\frac{2+\sqrt{2}}{1+\sqrt{2}}=\frac{(\sqrt{2})^{2}+\sqrt{2}}{1+\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{2}(\sqrt{2}+1)}{1+\sqrt{2}}=\sqrt{2}\)

Cách khác:

\(\frac{2+\sqrt{2}}{1+\sqrt{2}}= \frac{(2+\sqrt{2})(1-\sqrt{2})}{(1+\sqrt{2})(1-\sqrt{2})}\)

\(=\frac{2-2 \sqrt{2}+\sqrt{2}-(\sqrt{2})^{2}}{1-(\sqrt{2})^{2}}\)

\(=\frac{2-\sqrt{2}-2}{1-2}=\frac{-\sqrt{2}}{-1}=\sqrt{2}\)

Nhận xét:

Cách làm thứ nhật (nhận dạng tử có thể phân tích thành nhân tử để rút gọn nhân tử đó với mẫu thích hợp hơn cách làm thứ hai (trục căn thức ở mẫu rồi thu gọn). Vì trục căn thức ở mẫu rồi rút gọn sẽ thêm nhiều phép nhân.

\(\frac{\sqrt{15}-\sqrt{5}}{1-\sqrt{3}}=\frac{\sqrt{3.5}-\sqrt{5}}{1-\sqrt{3}}=\frac{\sqrt{5}(\sqrt{3}-1)}{1-\sqrt{3}}=-\sqrt{5}\)

\(\frac{2 \sqrt{3}-\sqrt{6}}{\sqrt{8}-2}=\frac{\sqrt{2^{2} \cdot 3}-\sqrt{6}}{\sqrt{4.2}-2}=\frac{\sqrt{2.6}-\sqrt{6}}{2 \sqrt{2}-2}=\frac{\sqrt{6}(\sqrt{2}-1)}{2(\sqrt{2}-1)}=\frac{\sqrt{6}}{2}\)

\(\frac{\mathrm{a}-\sqrt{\mathrm{a}}}{1-\sqrt{\mathrm{a}}}=\frac{(\sqrt{\mathrm{a}})^{2}-\sqrt{\mathrm{a}}}{1-\sqrt{\mathrm{a}}}=\frac{\sqrt{\mathrm{a}}(\sqrt{\mathrm{a}}-1)}{1-\sqrt{\mathrm{a}}}=-\sqrt{\mathrm{a}}\)

\(\frac{\mathrm{p}-2 \sqrt{\mathrm{p}}}{\sqrt{\mathrm{p}}-2}=\frac{(\sqrt{\mathrm{p}})^{2}-2 \sqrt{\mathrm{p}}}{\sqrt{\mathrm{p}}-2}=\frac{\sqrt{\mathrm{p}}(\sqrt{\mathrm{p}}-2)}{\sqrt{\mathrm{p}}-2}=\sqrt{\mathrm{p}}\)