Câu 53:

Rút gọn các biểu thức sau (giả thiết biểu thức chữ đều có nghĩa):

a) \(\sqrt{18(\sqrt{2}-\sqrt{3})^{2}}\)

b) \(a b \sqrt{1+\frac{1}{a^{2} b^{2}}}\)

c) \(\sqrt{\frac{a}{b^{3}}+\frac{a}{b^{4}}}\)

d) \(\frac{a+\sqrt{a b}}{\sqrt{a}+\sqrt{b}}\)

Lời giải:

a) \(\sqrt{18 \cdot(\sqrt{2}-\sqrt{3})^{2}}=\sqrt{18} \cdot \sqrt{(\sqrt{2}-\sqrt{3})^{2}}\)

\(=\sqrt{2.3^{2}} \cdot|\sqrt{2}-\sqrt{3}|=3 \sqrt{2} \cdot(\sqrt{3}-\sqrt{2})=3 \sqrt{6}-6\)

b) \(a b \sqrt{1+\frac{1}{a^{2} b^{2}}}=a b \sqrt{\frac{1+a^{2} b^{2}}{a^{2} b^{2}}}=\frac{a b}{|a b|} \sqrt{1+a^{2} b^{2}}\)

\(=\left\{\begin{array}{l} \sqrt{1+a^{2} b^{2}} \text { nếu } a b>0 \\ -\sqrt{1+a^{2} b^{2}} \text { nếu } a b<0 \end{array}\right.\)

c) \(\sqrt{\frac{a}{b^{3}}+\frac{a}{b^{4}}}=\sqrt{\frac{a+a b}{b^{4}}}=\frac{1}{b^{2}} \sqrt{a+a b}\)

d) \(\frac{a+\sqrt{a b}}{\sqrt{a}+\sqrt{b}}=\frac{(\sqrt{a})^{2}+\sqrt{a} \cdot \sqrt{b}}{\sqrt{a}+\sqrt{b}}=\frac{\sqrt{a}(\sqrt{a}+\sqrt{b})}{\sqrt{a}+\sqrt{b}}=\sqrt{a}\)