Câu 39:

Cho hai đường tròn (O) và (O') tiếp xúc ngoài tại A, Kẻ tiếp tuyến chung ngoài BC, B ϵ (O), C ϵ (O'). Tiếp tuyến chung trong tại A cắt tiếp tuyến chung ngoài BC ở I.

a) Chứng minh rằng \(\widehat{BAC}=90^{0}\)

b) Tính số đo góc OIO'

c) Tính độ dài BC, biết OA = 9cm, O'A = 4cm.

Lời giải:

a) Theo tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau ta được IA = IB, IA = IC.

ΔABC có đường trung tuyến \(AI = \frac{1}{2} BC\) nên là tam giác vuông.

Vậy \(\widehat{BAC}=90^{0}\) (đpcm)

b) Theo tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau ta có IO, IO' là các tia phân giác của hai góc kề bù AIB, AIC nên:

\(\widehat{\mathrm{OIO}^{\prime}}=\widehat{\mathrm{OIA}}+\widehat{\mathrm{O}^{\prime} \mathrm{IA}}=\frac{1}{2} \widehat{A I B}+\frac{1}{2} \widehat{A I C}=\frac{1}{2}(\widehat{A I B}+\widehat{A I C})\)

Vậy \(\widehat{OIO'}=90^{0}\)

c) ΔOIO' vuông tại A có IA là đường cao nên theo hệ thức giữa cạnh và đường cao ta có:

IA² = AO.AO' = 9.4 = 36

⇒ IA = 6 (cm)

Vậy BC = 2.IA = 2.6 = 12 (cm)