Câu 37:

Cho tam giác ABC có AB = 6cm, AC = 4,5cm, BC = 7,5cm.

a) Chứng minh tam giác ABC vuông tại A. Tính các góc B, C và đường cao AH của tam giác đó.

b) Hỏi rằng điểm M mà diện tích tam giác MBC bằng diện tích tam giác ABC nằm trên đường nào?

Lời giải:

a) Ta có: \(A B^{2} +A C^{2} =6^{2}+4,5^{2}=7,5^{2}= B C^{2}\)

nên tam giác ABC vuông tại A. (đpcm)

Ta có:

\(\operatorname{tg} \mathrm{B}=\frac{A C}{A B}=\frac{4,5}{6}=0,75\) 

\(\Rightarrow góc B=37^{\circ}\) 

\(\Rightarrow góc C=90^{\circ}- góc B=90^{\circ}-37^{\circ}=53^{\circ}\)

Mặt khác trong tam giác ABC vuông tại A, ta có:

\(\frac{1}{\mathrm{AH}^{2}}=\frac{1}{\mathrm{AB}^{2}}+\frac{1}{\mathrm{AC}^{2}}\)

nên \(\frac{1}{\mathrm{AH}^{2}}=\frac{1}{36}+\frac{1}{20,25}\)

\(\Rightarrow \mathrm{AH}^{2}=\frac{36 \cdot 20,25}{36+20,25}=12,96\)

=> AH = 3,6 cm

b) Gọi khoảng cách từ M đến BC là MK. Ta có:

\(\mathrm{S}_{\mathrm{ABC}}=\frac{1}{2} \mathrm{AH} . \mathrm{BC}\) và \(\mathrm{S}_{\mathrm{MBC}}=\frac{1}{2} \mathrm{MK} . \mathrm{BC}\)

Ta thấy \(S_{M B C}=S_{A B C}\) khi MK = AH = 3,6 cm

Do đó để \(S_{M B C}=S_{A B C}\) thì M phải nằm trên đường thẳng song song và cách BC một khoảng là 3,6 cm (có hai đường thẳng như trên hình).