Câu 34:

Rút gọn các biểu thức sau:

a) \(a b^{2} \sqrt{\frac{3}{a^{2} b^{4}}}\) với \(a<0, b \neq 0\)

b) \(\sqrt{\frac{27(a-3)^{2}}{48}}\) với \(a>3\)

c) \(\sqrt{\frac{9+12 \mathrm{a}+4 \mathrm{a}^{2}}{\mathrm{~b}^{2}}}\) với \(\mathrm{a} \geq-1,5\) và \(\mathrm{b}<0\)

d) \((a-b) \sqrt{\frac{a b}{(a-b)^{2}}}\) với \(a<b<0\)

Lời giải:

a) \(a b^{2} \sqrt{\frac{3}{a^{2} b^{4}}}=a b^{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{a^{2} b^{4}}}=a b^{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{a^{2}} \cdot \sqrt{\left(b^{2}\right)^{2}}}\)

\(=a b^{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{|a| \cdot b^{2} \mid}=a b^{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{-a b^{2}}=-\sqrt{3}\)

(vì a < 0 nên |a| = -a, b² > 0 với mọi b ≠ 0 nên |b²| = b² )

b) \(\sqrt{\frac{27(a-3)^{2}}{48}}=\sqrt{\frac{9(a-3)^{2}}{16}}=\frac{\sqrt{9} \cdot \sqrt{(a-3)^{2}}}{\sqrt{16}}\)

\(=\frac{3 \cdot|a-3|}{4}=\frac{3(a-3)}{4}\)

(vì a > 3 nên |a - 3| = a - 3)

c) \(\sqrt{\frac{9+12 a+4 a^{2}}{b^{2}}}=\frac{\sqrt{3^{2}+2 \cdot 3 \cdot 2 a+(2 a)^{2}}}{\sqrt{b^{2}}}\)

\(=\frac{\sqrt{(3+2 a)^{2}}}{\sqrt{b^{2}}}=\frac{|3+2 a|}{|b|}\)

Vì b < 0 nên |b| = -b

Vì a ≥ -1,5 nên 3 + 2a ≥ 0. Do đó: |3 + 2a| = 3 + 2a

Vậy: \(\frac{|3+2 a|}{|b|}=\frac{3+2 a}{-b}=-\frac{2 a+3}{b}\)

d) \((a-b) \sqrt{\frac{a b}{(a-b)^{2}}}=(a-b) \frac{\sqrt{a b}}{\sqrt{(a-b)^{2}}}\)

\(=(a-b) \frac{\sqrt{a b}}{|a-b|}=(a-b) \frac{\sqrt{a b}}{-(a-b)}=-\sqrt{a b}\)

(vì a < b < 0 và b < 0 nên |a - b| = -(a - b), ab > 0)