Câu 26:

a) So sánh \(\sqrt{25+9}\) và \(\sqrt{25}+\sqrt{9}\)

b) Với \(\mathrm{a}>0\) và \(\mathrm{b}>0\), chứng minh \(\sqrt{\mathrm{a}+\mathrm{b}}<\sqrt{\mathrm{a}} + \sqrt{\mathrm{b}}\)

Lời giải:

a) Ta có:

\(\sqrt{25+9}=\sqrt{34}\)

\(\sqrt{25}+\sqrt{9}=\sqrt{5^{2}}+\sqrt{3^{2}}=5+3\)=8=\sqrt{8^{2}}=\sqrt{64}$

Vì 34 < 64

Vậy \(\sqrt{25+9}<\sqrt{25}+\sqrt{9}\)

b) Ta có:

\((\sqrt{a+b})^{2}=a+b\)

\((\sqrt{a}+\sqrt{b})^{2}=(\sqrt{a})^{2}+2 \sqrt{a} \cdot \sqrt{b}+(\sqrt{b})^{2}\)

\(=a+2 \sqrt{a b}+b\) \(=(a+b)+2 \sqrt{a b}\)

\(\text { Vì } a>0, b>0 \text { nên } \sqrt{a b}>0 \Leftrightarrow 2 \sqrt{a b}>0\)

\(\Leftrightarrow(a+b)+2 \sqrt{a b}>a+b\)

\(\Leftrightarrow(\sqrt{a}+\sqrt{b})^{2}>(\sqrt{a+b})^{2}\)

\(\Leftrightarrow \sqrt{a}+\sqrt{b}>\sqrt{a+b}\) (đpcm)