Câu 24:

Cho đường tròn (O), dây AB khác đường kính. Qua O kẻ đường vuông góc với AB, cắt tiếp tuyến tại A của đường tròn ở điểm C.

a) Chứng minh rằng CB là tiếp tuyến của đường tròn.

b) Cho bán kính của đường tròn bằng 15cm, AB = 24 cm. Tính độ dài OC.

Lời giải:

a) Gọi H là giao điểm của OC và AB, ΔAOB cân tại O (OA = OB, bán kính). OH là đường cao nên cũng là đường phân giác. Do đó:

\(\widehat{\mathrm{AOC}}=\widehat{\mathrm{BOC}}\)

Vì \(\mathrm{AC}\) là tiếp tuyến tại \(\mathrm{A}\) của đường tròn \((\mathrm{O})\) nên \(\widehat{O A C}=90^{\circ}\).

* Xét hai tam giác \(\mathrm{OAC}\) và \(\mathrm{OBC}\) có:

\(\mathrm{OA}=\mathrm{OB}(=\mathrm{R})\)

\(\widehat{A O C}=\widehat{B O C}\) ( chứng minh trên )

OC chung

Suy ra: \(\triangle \mathrm{OAC}=\triangle \mathrm{OBC}\) (c.g.c)

\(\Rightarrow \widehat{O A C}=\widehat{O B C}=90^{\circ}\) (hai góc tương úng)

Suy ra: CB vuông góc với OB, mà OB là bán kính của đường tròn (O)

⇒ CB là tiếp tuyến của đường tròn (O) tại B. (điều phải chứng minh)

b) Ta có: OH vuông góc AB nên H là trung điểm của AB (quan hệ vuông góc giữa đường kính và dây)

\(\Rightarrow H A=H B=\frac{A B}{2}=12\)

Xét tam giác HOA vuông tại H, áp dụng định lí Pytago ta có:

\(\mathrm{OA}^{2}=\mathrm{OH}^{2}+\mathrm{HA}^{2}\)

\(\Leftrightarrow 15^{2}=\mathrm{OH}^{2}+12^{2}\)

\(\Leftrightarrow \mathrm{OH}^{2}=15^{2}-12^{2}=81\)

\(\Rightarrow \mathrm{OH}=9(\mathrm{cm})\)

Xét tam giác vuông OAC có đường cao AH, áp dụng hệ thức về cạnh và đường cao trong tam giác vuông ta có:

\(OA^{2}=O H . O C \Rightarrow O C=\frac{O A^{2}}{O H}=\frac{15^{2}}{9}=25(\mathrm{~cm})\)

Vậy OC = 25 cm