Câu 14:

Sử dụng định nghĩa các tỉ số lượng giác của một góc nhọn để chứng minh rằng. Với góc nhọn α tùy ý, ta có:

a) \(\operatorname{tg} \alpha=\frac{\sin \alpha}{\cos \alpha}, \quad \operatorname{cotg} \alpha=\frac{\cos \alpha}{\sin \alpha}, \quad \operatorname{tg} \alpha \cdot \operatorname{cotg} \alpha=1\)

b) \(\sin ^{2} \alpha+\cos ^{2} \alpha=1\).

Gợi ý: Sử dụng định lí Pitago.

Lời giải:

Dựng góc nhọn ∠xOy = α tùy ý.

Trên tia Ox lấy điểm B bất kì, kẻ BA ⊥ Oy (A ∈ Oy)

Theo định nghĩa tỉ số lượng giác của góc nhọn, ta có:

\(\sin \alpha=\frac{\mathrm{AB}}{\mathrm{OB}}, \cos \alpha=\frac{\mathrm{OA}}{\mathrm{OB}}\)

\(\operatorname{tg} \alpha=\frac{\mathrm{AB}}{\mathrm{OA}}, \operatorname{cotg} \alpha=\frac{\mathrm{OA}}{\mathrm{AB}}\)

a)Ta có

\(\frac{\sin \alpha}{\cos \alpha}=\frac{\frac{\mathrm{AB}}{\mathrm{OB}}}{\frac{\mathrm{OA}}{\mathrm{OB}}}=\frac{\mathrm{AB}}{\mathrm{OA}}=\operatorname{tg} \alpha\)

\(\frac{\cos \alpha}{\sin \alpha}=\frac{\frac{\mathrm{OA}}{\mathrm{OB}}}{\frac{\mathrm{AB}}{\mathrm{OB}}}=\frac{\mathrm{OA}}{\mathrm{AB}}=\operatorname{cotg} \alpha\)

\(\operatorname{tg} \alpha \cdot \operatorname{cotg} \alpha=\frac{\mathrm{AB}}{\mathrm{OA}} \cdot \frac{\mathrm{OA}}{\mathrm{AB}}=1\)

b) Áp dụng định lí pitago trong tam giác vuông OAB có:

\(O B^{2}=O A^{2+} A B^{2}\)

Từ đó ta có:

\(\sin ^{2} \alpha+\cos ^{2} \alpha=\frac{\mathrm{AB}^{2}}{\mathrm{OB}^{2}}+\frac{\mathrm{OA}^{2}}{\mathrm{OB}^{2}}=\frac{\mathrm{AB}^{2}+\mathrm{CA}^{2}}{\mathrm{OB}^{2}}=\frac{\mathrm{OB}^{2}}{\mathrm{OB}^{2}}=1(\) đpcm \()\)