Câu 12:

Cho đường tròn tâm O bán kính 5cm, dây AB bằng 8cm.

a) Tính khoảng cách từ tâm O đến dây AB.

b) Gọi I là điểm thuộc dây AB sao cho AI = 1cm. Kẻ dây CD đi qua I và vuông góc với AB. Chứng minh rằng CD = AB.

Lời giải:

a) Kẻ OJ vuông góc với AB tại J.

Theo quan hệ vuông góc giữa đường kính và dây suy ra: J là trung điểm của AB.

Ta được \(AJ=\frac{1}{2} AB=4 cm\)

Áp dụng định lí Pitago trong tam giác vuông OAJ có:

\(O J^{2}=O A^{2}-A J^{2}=5^{2}-4^{2}=9\) (OA = R = 5cm)

⇒ OJ = 3cm      (1)

Vậy khoảng cách từ tâm O đến dây AB là OJ = 3cm.

b) Kẻ OM vuông góc với CD tại M.

Tứ giác OJIM có: \(\hat{I}=\widehat{J}=\widehat{M}=90^{\circ}\) nên là hình chữ nhật

Ta có IJ = AJ – AI = 4 – 1 = 3cm

⇒ OM = IJ = 3cm (Tính chất hình chữ nhật)   (2)

Từ (1), (2) suy ra CD = AB (hai dây cách đều tâm thì bằng nhau). (đpcm)