Sách Giải Bài Tập và SGK

Câu 10: Trong không gian Oxyz, cho S(0; 0; 2), A(0; 0; 0), B(1; 2; 0), C(0; 2; 0)

Câu 10:

Trong không gian Oxyz, cho S(0; 0; 2), A(0; 0; 0), B(1; 2; 0), C(0; 2; 0)

a) Viết phương trình của mặt phẳng (P) qua A và vuông góc với SB;

b) Tìm tọa độ của các điểm B' là gia của (P) với đường thẳng SB, C' là giao của (P) với đường thẳng SC;

c) Tính thể tích tứ diện SAB'C';

d) Tìm điểm đối xứng với B qua mặt phẳng (P);

e) Chứng minh các điểm A, B, C, B', C' cùng thuộc một mặt cầu. Viết phương trình của mặt cầu đó và phương trình của mặt phẳng tiếp xúc với mặt cầu đó tại C'.

Lời giải:

a) SB→ = (1; 2; -2). Phương trình (P): x + 2y - 2z = 0.

b) Phương trình đường thẳng SB: x - t, y = 2t, z = 2 - 2t. Để tìm B' ta giải hệ

Tương tự, C'(0; 1; 1)

c)

d) Đường thẳng qua B và vuông góc với (P) có phương trình:

x = 1 + t; y = 2 + 2t; z = -2t.

Để tìm giao điểm của đường thẳng này với (P) ta giả hệ

Từ đó suy ra điểm đối xứng với B qua (P) là

e) Dễ thấy BC→ ⊥ AC→, BC'→ ⊥ AC'→, BB'→ ⊥ AB'→ nên A, B, C, B', C' cùng thuộc mặt cầu tâm I(1/2; 1; 0) là trung điểm của AB, bán kính IA = (√5) /2

Phương trình mặt cầu đó là

Vì điểm C' thuộc mặt cầu, nên mặt phẳng tiếp xúc với mặt cầu tại C' phải vuông góc với IC'→ = (-1/2; 0; 1). Phương trình của mặt phẳng đó là: x - 2(z - 1) = 0 hay x - 2z + 2 = 0