A. Tóm tắt lý thuyết

I. Phương trình đường thẳng:

   • Cho đường thẳng Δ đi qua điểm (; ; ) và nhận vectơ a→ = (; ; ) với  +  +  ≠ 0 làm vectơ chỉ phương. Khi đó Δ có phương trình tham số là :

   • Cho đường thẳng Δ đi qua điểm (; ; ) và nhận vectơ a→ = (; ; ) sao cho  ≠ 0 làm vectơ chỉ phương. Khi đó Δ có phương trình chính tắc là :

II. Góc:

1. Góc giữa hai đường thẳng:

   Δ có vectơ chỉ phương →

   Δ có vectơ chỉ phương →

   Gọi φ là góc giữa hai đường thẳng Δ và Δ. Ta có:

2. Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng:

   Δ có vectơ chỉ phương →

   (α) có vectơ chỉ phương →

   Gọi φ là góc giữa hai đường thẳng Δ và α. Ta có:

III. Khoảng cách:

1. Khoảng cách từ điểm M đến đường thẳng Δ:

   Δ đi qua điểm  và có vectơ chỉ phương →

2. Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau:

   Δ đi qua điểm M và có vectơ chỉ phươ→

   Δ đi qua điểm N và có vectơ chỉ phương →

B. Kĩ năng giải bài tập

Các dạng toán thường gặp

Dạng 1

 Viết phương trình đường thẳng Δ đi qua hai điểm phân biệt A, B.

Cách giải:

   Xác định vectơ chỉ phương của Δ là AB→.

Dạng 2

 Đường thẳng Δ đi qua điểm M và song song với d.

Cách giải:

   Trong trường hợp đặc biệt:

   • Nếu Δ song song hoặc trùng bới trục Ox thì Δ có vectơ chỉ phương là → = i→ = (1; 0; 0)

   • Nếu Δ song song hoặc trùng bới trục Oy thì Δ có vectơ chỉ phương là → = j→ = (0; 1; 0)

   • Nếu Δ song song hoặc trùng bới trục Oz thì Δ có vectơ chỉ phương là → = k→ = (0; 1; 0)

   Các trường hợp khác thì Δ có vectơ chỉ phương là → = →, với → là vectơ chỉ phương của d

Dạng 3

 Viết phương trình đường thẳng Δ đi qua điểm M và vuông góc với mặt phẳng (α).

Cách giải:

   Xác định vectơ chỉ phương của Δ là → = →, với → là vectơ pháp tuyến của (α).

Dạng 4

 Viết phương trình đường thẳng Δ đi qua điểm M và vuông góc với hai đường thẳng ,  (hai đường thẳng không cùng phương).

Cách giải:

   Xác định vectơ chỉ phương của Δ là → = [→, ], với →, → lần lượt là vectơ chỉ phương của , .

Dạng 5

 Viết phương trình đường thẳng Δ đi qua điểm M vuông góc với đường thẳng d và song song với mặt phẳng (α).

Cách giải:

   Xác định vectơ chỉ phương của Δ là → = [→, →], với → là vectơ chỉ phương của d, → là vectơ pháp tuyến của (α).

Dạng 6

 Viết phương trình đường thẳng Δ đi qua điểm A và song song với hai mặt phẳng (α), (β); ((α), (β) là hai mặt phẳng cắt nhau)

Cách giải:

   Xác định vectơ chỉ phương của Δ là → = [→, →], với →, → lần lượt là vectơ pháp tuyến của (α), (β).

Dạng 7

 Viết phương trình đường thẳng Δ là giao tuyến của hai mặt phẳng (α) và (β).

Cách giải:

   • Lấy một điểm bất kì trên Δ, bằng cách cho một ẩn bằng một số tùy ý.

   • Xác định vectơ chỉ phương của Δ là → = [→, →], với →, → lần lượt là vectơ pháp tuyến của (α), (β).

Dạng 8

 Viết phương trình đường thẳng Δ đi qua điểm A và cắt hai đường thẳng ,  (A ∉ , A ∉ ).

Cách giải:

   Xác định vectơ chỉ phương của Δ là → = [→, →], với →, → lần lượt là vectơ pháp tuyến của mp(A, ), mp(A, ).

Dạng 9

 Viết phương trình đường thẳng Δ nằm trong mặt phẳng (α) và cắt hai đường thẳng , .

Cách giải:

   Xác định vectơ chỉ phương của Δ là → = AB→, với A =  ∩ (α), B =  ∩ (α)

Dạng 10

 Viết phương trình đường thẳng Δ đi qua điểm A, vuông góc và cắt d.

Cách giải:

   • Xác định B = Δ ∩ d.

   • Viết phương trình đường thẳng Δ đi qua A, B.

Dạng 11

 Viết phương trình đường thẳng Δ đi qua điểm A, vuông góc với  và cắt , với A ∉ .

Cách giải:

   • Xác định B = Δ ∩ .

   • Viết phương trình đường thẳng Δ đi qua A, B.

Dạng 12

 Viết phương trình đường thẳng Δ đi qua điểm A, cắt đường thẳng d và song song với mặt phẳng (α).

Cách giải:

   • Xác định B = Δ ∩ d.

   • Viết phương trình đường thẳng Δ đi qua A, B.

Dạng 13

 Viết phương trình đường thẳng Δ nằm trong mặt phẳng (α) cắt và vuông góc đường thẳng d.

Cách giải:

   • Xác định A = d ∩ (α).

   • Đường thẳng Δ đi qua A và có vectơ chỉ phương của Δ là → = [→, →], với → là vectơ chỉ phương của d, → là vectơ pháp tuyến của (α).

Dạng 14

 Viết phương trình đường thẳng Δ đi qua giao điểm A của đường thẳng d và mặt phẳng (α), nằm trong (α) và vuông góc đường thẳng d (ở đây d không vuông góc với (α)) .

Cách giải:

   • Xác định A = d ∩ (α).

   • Đường thẳng Δ đi qua A và có vectơ chỉ phương của Δ là → = [→, →], với → là vectơ chỉ phương của d, → là vectơ pháp tuyến của (α).

Dạng 15

 Viết phương trình đường thẳng Δ là đường vuông góc chung của hai đường thẳng chéo nhau , .

Cách giải:

   • Xác định A = Δ ∩ , B = Δ ∩  sao cho 

   • Viết phương trình đường thẳng Δ đi qua hai điểm A, B.

Dạng 16

 Viết phương trình đường thẳng Δ song song với đường thẳng d và cắt cả hai đường thẳng , .

Cách giải:

   • Xác định A = Δ ∩ , B = Δ ∩  sao cho AB→, → cùng phương, với → là vectơ chỉ phương của d.

   • Viết phương trình đường thẳng Δ đi qua điểm A và có vectơ chỉ phương → = →.

Dạng 17

 Viết phương trình đường thẳng Δ vuông góc với mặt phẳng (α) và cắt cả hai đường thẳng , .

Cách giải:

   • Xác định A = Δ ∩ , B = Δ ∩  sao cho AB→, → cùng phương, với → là vectơ pháp tuyến của (α).

   • Viết phương trình đường thẳng Δ đi qua điểm A và có vectơ chỉ phương → = →.

Dạng 18

 Viết phương trình Δ là hình chiếu vuông góc của d lên mặt phẳng (α).

Cách giải:

   Xác định H ∈ Δ sao cho AH→ ⊥ →,với  là vectơ chỉ phương của d.

   • Viết phương trình mặt phẳng (β) chứa d và vuông góc với mặt phẳng (α).

   • Viết phương trình đường thẳng Δ là giao tuyến của hai mặt phẳng (α) và (β)

Dạng 19

 Viết phương trình Δ là hình chiếu song song của d lên mặt phẳng (α) theo phương d'.

Cách giải:

   • Viết phương trình mặt phẳng (β) chứa d và có thêm một véc tơ chỉ phương →.

   • Viết phương trình đường thẳng Δ là giao tuyến của hai mặt phẳng (α) và (β).