Câu 81:

Cho hàm số:

a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số.

b) Viết phương trình các đường thẳng đi qua O(0;0) và tiếp xúc với (C) .

c) Tìm tất cả các điểm trên (C) có tọa độ là các số nguyên.

Lời giải:

a) Học sinh tự làm

b) Phương trình tiếp tuyến tại điểm (; ) là:

y – = y’()(x – )

Trong đó:

Ta có:

Để đường thẳng đó đi qua O(0; 0), điều kiện cần và đủ là:

⇔ = –1 - √3 hoặc = –1 + √3

    +) Với = –1 + √3, ta có phương trình tiếp tuyến:

  +) Với = –1 – √3, ta có phương trình tiếp tuyến:

c) Để tìm trên (C) các điểm có tọa độ nguyên ta có:

Điều kiện cần và đủ để M(x, y) ∈ (C) có tọa độ nguyên là:

tức (x – 2) là ước của 9.

Khi đó, x – 2 nhận các giá trị -1; 1; -3; 3; -9; 9 hay x nhận các giá trị 1; 3; -1; 5; -7; 11.

Do đó, ta có 6 điểm trên (C) có tọa độ nguyên là: (1;-6), (3;12), (-1;0), (5;6), (-7;2), (11;4).