1. Định nghĩa

Kí hiệu: K là một khoảng, một đoạn hoặc một nửa khoảng.

Cho hàm số y=f(x) xác định trên K

– Hàm số y=f(x) đồng biến (tăng) trên K nếu

\(\left\{\begin{array}{c}x_{1}, x_{2} \in K \\ x_{1}<x_{2}\end{array} \Rightarrow f\left(x_{1}\right)<f\left(x_{2}\right)\right.\)

– Hàm số y=f(x) nghịch biến (giảm) trên K

\(\left\{\begin{array}{c}x_{1}, x_{2} \in K \\ x_{1} f\left(x_{2}\right)\right.\)

2. Điều kiện cần để hàm số đơn điệu

Cho hàm số y=f(x) có đạo hàm trên K

– Nếu f(x) đồng biến trên K thì f′(x)≥0 với mọi x∈K

– Nếu f(x) nghịch biến trên K thì f′(x)≤0 với mọi x∈K

3. Điều kiện đủ để hàm số đơn điệu

Cho hàm số y=f(x) có đạo hàm trên K:

– Nếu f′(x)≥0 với mọi x∈K và f′(x)=0 chỉ tại một số hữu hạn điểm thuộc K thì f(x) đồng biến trên K.

– Nếu f′(x)≤0 với mọi x∈K và f′(x)=0 chỉ tại một số hữu hạn điểm thuộc K thì f(x) nghịch biến trên K.

– Nếu f′(x)=0 với mọi x∈K thì f(x) là hàm hằng trên K.

4. Các bước xét tính đơn điệu của hàm số

– Bước 1: Tìm tập xác định.

– Bước 2: Tính đạo hàm f′(x)=0. Tìm các điểm x_i (i= 1 , 2 ,…, n) mà tại đó đạo hàm bằng 0 hoặc không xác định.

– Bước 3: Sắp xếp các điểm x_i theo thứ tự tăng dần và lập bảng biến thiên.

– Bước 4: Nêu kết luận về các khoảng đồng biến, nghịch biến của hàm số.