A. Tóm tắt lý thuyết

SỐ PHỨC VÀ CÁC PHÉP TOÁN

1. Phần thực và phần ảo của số phức, số phức liên hợp.

   a) Số phức z là biểu thức có dạng z = a + bi (a, b ∈ R,  = -1) . Khi đó:

      + Phần thực của z là a, phần ảo của z là b và i được gọi là đơn vị ảo.

   b) Số phức liên hợp của z là .

      + Tổng và tích của z và z− luôn là một số thực.

   Đặc biệt:

      + Số phức z = a + 0i có phần ảo bằng 0 được coi là số thực và viết là z = a

      + Số phức z = 0 + bi có phần thực bằng 0 được gọi là số ảo (hay số thần ảo) và viết là

      + Số i = 0 + li = li.

      + Số: 0 = 0 + 0i vừa là số thực vừa là số ảo.

2. Số phức bằng nhau.

      + Cho hai số phức  =  + i,  + i (, , ,  ∈ R). Khi đó:

3. Biểu diễn hình học của số phức, mô đun của số phức.

   a) Biễu diễn hình học của số phức.

   + Số phức z = a + bi (a, b ∈ R) được biểu diễn bởi điểm M(a; b) trong mặt phẳng tọa độ.

   + z và z− được biểu diễn bởi hai điểm đối xứng nhau qua trục 0x.

   b) Mô đun của số phức.

   + Mô đun của số phức z là .

   + 

4. Cộng, trừ, nhân, chia số phức.

   Cho hai số phức  = a + bi và  = c + di thì:

Phép cộng số phức:

   •  +  = (a + c) + (b + d)i

Phép trừ số phức:

   •  -  = (a - c) + (b - d)i

Phép nhân số phức:

   • . = (ac - bd) + (ad + bc)i

Phép chia số phức:

   •  (với  ≠ 0)

** PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI VỚI HỆ SỐ THỰC

   Cho phương trình bậc hai  + bx + c = 0 (a, b, c ∈ R; a ≠ 0). Xét Δ =  - 4ac, ta có

   • Δ = 0: phương trình có nghiệm thực x = -b/2a .

   • Δ > 0 : phương trình có hai nghiệm thực được xác định bởi công thức: .

   • Δ < 0 : phương trình có hai nghiệm phức được xác định bởi công thức: .

Chú ý:

   - Mọi phương trình bậc n:  +  + ... + z +  = 0 luôn có n nghiệm phức (không nhất thiết phân biệt).

Hệ thức Vi–ét đối với phương trình bậc hai với hệ số thực:

   -  Cho phương trình bậc hai  + bx + c = 0 (a ≠ 0) có hai nghiệm phân biệt ,  (thực hoặc phức). Ta có hệ thức Vi–ét