Sách Giải Bài Tập và SGK

Lý thuyết

A. Tóm tắt lý thuyết

1. Định nghĩa

   Cho f là hàm số liên tục trên đoạn [a; b] Giả sử F là một nguyên hàm của f trên [a; b] Hiệu số F(b) - F(a) được gọi là tích phân từ a đến b (hay tích phân xác định trên đoạn [a; b] của hàm số f(x) kí hiệu là 

   Ta dùng kí hiệu  để chỉ hiệu số F(b) - F(a). Vậy .

   Nhận xét: Tích phân của hàm số f từ a đến b có thể kí hiệu bởi  hay . Tích phân đó chỉ phụ thuộc vào f và các cận a, b mà không phụ thuộc vào cách ghi biến số.

    Ý nghĩa hình học của tích phân: Nếu hàm số f liên tục và không âm trên đoạn [a; b] thì tích phân  là diện tích S của hình thang cong giới hạn bởi đồ thị hàm số y = f(x) , trục Ox và hai đường thẳng x = a, x = b. Vậy S = 

2. Tính chất của tích phân

B. Kĩ năng giải bài tập

1. Một số phương pháp tính tích phân

Dạng 1: Tính tích phân theo công thức

Ví dụ 1:

 Tính các tính phân sau:

Hướng dẫn:

Dạng 2: Dùng tính chất cận trung gian để tính tích phân

   Sử dụng tính chất  để bỏ dấu giá trị tuyệt đối.

Ví dụ 2:

 Tính tích phân .

Hướng dẫn:

   Nhận xét: . Do đó

Dạng 3: Phương pháp đổi biến số

1) Đổi biến số dạng 1

   Cho hàm số f liên tục trên đoạn [a; b]. Giả sử hàm số u = u(x) có đạo hàm liên tục trên đoạn [a; b] và α ≤ u(x) ≤ β. Giả sử có thể viết f(x) = g(u(x))u'(x), x ∈ [a; b] với g liên tục trên đoạn [α; β]. Khi đó, ta có

Ví dụ 3:

 Tính tích phân .

Hướng dẫn:

   Đặt u = sinx. Ta có du = cosxdx. Đổi cận: x = 0 ⇒ u(0) = 0; x = π/2 ⇒ u(π/2) = 1

   Khi đó 

Dấu hiệu nhận biết và cách tính tính phân

2) Đổi biến số dạng 2

   Cho hàm số f liên tục và có đạo hàm trên đoạn [a; b]. Giả sử hàm số x = φ(t) có đạo hàm và liên tục trên đoạn [α; β] sao cho φ(α) = a,φ(β) = b và a ≤ φ(t) ≤ b với mọi t ∈ [α; β]. Khi đó:

Một số phương pháp đổi biến:

 Nếu biểu thức dưới dấu tích phân có dạng

Lưu ý:

 Chỉ nên sử dụng phép đặt này khi các dấu hiệu 1, 2, 3 đi với x mũ chẵn. Ví dụ, để tính tích phân  thì phải đổi biến dạng 2 còn với tích phân  thì nên đổi biến dạng 1.

Ví dụ 4:

 Tính các tích phân sau:

   a) Đặt x = sint ta có dx = costdt. Đổi cận: x = 0 ⇒ t = 0; x = 1 ⇒ t = π/2.

   Vậy 

   b) Đặt x = tant, ta có dx = (1 + t)dt. Đổi cận: .

   Vậy 

Dạng 4: Phương pháp tính tích phân từng phần.

   Định lí : Nếu u = u(x) và v = v(x) là hai hàm số có đạo hàm và liên tục trên đoạn [a; b] thì

   hay viết gọn là . Các dạng cơ bản: Giả sử cần tính 

Thông thường nên chú ý: “Nhất log, nhì đa, tam lượng, tứ mũ”.

Dạng hàmP(x): Đa thức

Q(x): sin(kx) hay cos(kx)

P(x): Đa thức

Q(x): ekx

P(x): Đa thức

Q(x): ln(ax + b)

P(x): Đa thức

Q(x): 1/sin2x hay 1/cos2x

Cách đặt* u = P(x)

* dv là Phần còn lại của biểu thức dưới dấu tích phân

* u = P(x)

* dv là Phần còn lại của biểu thức dưới dấu tích phân

* u = ln(ax + b)

* dv = P(x)dx

* u = P(x)

* dv là Phần còn lại của biểu thức dưới dấu tích phân

Ví dụ 5:

 Tính các tích phân sau : 

Hướng dẫn:

   a) Đặt 

   Do đó 

   b) Đặt