A. Tóm tắt lý thuyết

LŨY THỪA

1. Định nghĩa lũy thừa và căn

   • Cho số thực b và số nguyên dương n (n ≥ 2) . Số a được gọi là căn bậc n của số b nếu  = b .

Chú ý:

   •  - Với n lẻ và b ∈ R : Có duy nhất một căn bậc n của b, kí hiệu là √b .

   - Với n chắn:

      +) b < 0: Không tồn tại căn bậc n của b.

      +) b = 0: Có một căn bậc n của b là số 0.

      +) b > 0: Có hai căn bậc n của a là hai số đối nhau, căn có giá trị dương ký hiệu là √b, căn có giá trị âm kí hiệu là -√b.

2. Một số tính chất của lũy thừa

Số mũ αCơ số aLũy thừa a^αα = n ∈ N*a ∈ Ra^α = aⁿ = a.a. ... .a (n thừa số a)α = 0a ≠ 0a^α = a⁰ = 1α = -n (n ∈ N*)a ≠ 0a^α = a⁰ = 1/aⁿα = m/na > 0α = lim r_n (r_n ∈ Q, n ∈ N*)a > 0   • Giả thuyết rằng mỗi biểu thức được xét đều có nghĩa:

   • Nếu a > 1 thì  >  ⇔ α > β ; Nếu ) < a < 1 thì  >  ⇔ α < β .

   • Với mọi 0 < a < b, ta có:  <  ⇔ m > 0;  >  ⇔ m < 0 ;

   • Chú ý: - Các tính chất trên đúng trong trường hợp số mũ nguyên hoặc không nguyên.

   - Khi xét lũy thừa với số mũ 0 và số mũ nguyên âm thì cơ số a phải khác 0.

   - Khi xét lũy thừa với số mũ không nguyên thì cơ số a phải dương.

HÀM SỐ LŨY THỪA

1. Định nghĩa:

 Hàm số y =  với α ∈ R được gọi là hàm số lũy thừa.

2. Tập xác định:

 Tập xác định của hàm số y =  là:

   • D = R nếu α là số nguyên dương.

   • D = R \ {0} với α nguyên âm hoặc bằng 0

   • D = (0; +∝) với α không nguyên.

3. Đạo hàm:

 Hàm số y =  có đạo hàm với mọi x > 0 và ()' = α..

4. Tính chất của hàm số lũy thừa trên khoảng

 (0; +∝).

y = x^α, α > 0y = x^α, α < 0a. Tập khảo sát: (0; +∝)

a) Tập khảo sát: (0; +∝)b. Sự biến thiên

+ y' = αx^{α - 1} > 0, ∀x > 0

+ Giới hạn đặc biệt

+ Tiệm cận: không có

b) Sự biến thiên

+ y' = αx^{α - 1} < 0, ∀x > 0

+ Giới hạn đặc biệt

+ Tiệm cận: không có

- Trục 0x là tiệm cận ngang

- Trục 0y là tiệm cận đứng.

c) Bảng biến thiên c. Bảng biến thiên    d. Đồ thị:

   Đồ thị của hàm số lũy thừa y =  luôn đi qua điểm I(1; 1)

Lưu ý:

 Khi khảo sát hàm số lũy thừa với số mũ cụ thể, ta phải xét hàm số đó trên toàn bộ tập xác định của nó. Chẳng hạn: y = , y = , y =

LÔGARIT

1. Định nghĩa:

   Cho hai số dương a, b với a ≠ 1 . Số α thỏa mãn đẳng thức

 = b được gọi là lôgarit cơ số a của b và kí hiệu là

b. Ta viết: α =

b ⇔

 = b.

2. Các tính chất:

 Cho a, b > 0, a ≠ 1 ta có:

   -

a = 1,

1 = 0

   -

 = b,

(

)

= α

3. Lôgarit của một tích:

 Cho 3 số dương a,

,

 với a ≠ 1 , ta có

   -

(

.

) =  +

4. Lôgarit của một thương:

 Cho 3 số dương a,

,  với a ≠ 1, ta có

   - 

   - Đặc biệt : với a, b > 0, a ≠ 1 

5. Lôgarit của lũy thừa: Cho a, b1, b2, a ≠ 1, với mọi α, ta có

   -

 = α

b

   - Đặc biệt: 

6. Công thức đổi cơ số: Cho 3 số dương a, b, c với a ≠ 1, c ≠ 1 , ta có

   - 

   - Đặc biệt : 

 với α ≠ 0 .

      + Lôgarit thập phân và Lôgarit tự nhiên

      + Lôgarit thập phân là lôgarit cơ số 10. Viết:

b = log b = lg b

      + Lôgarit tự nhiên là lôgarit cơ số e. Viết:

b = ln b

HÀM SỐ MŨ. HÀM SỐ LÔGARIT

1. Hàm số mũ:

 y =

, (a > 0, a ≠ 1)

1.1 Tập xác định:

 D = R

1.2. Tập giá trị:

 T = (); +∝), nghĩa là khi giải phương trình mũ mà đặt t =

 thì t > 0

1.3. Tính đơn điệu:

      + Khi a > 1 thì hàm số y =

 đồng biến, khi đó ta luôn có:

 >

 ⇔ f(x) > g(x).

      + Khi 0 < a < 1 thì hàm số y =

 nghịch biến, khi đó ta luôn có:

 >  ⇔ f(x) < g(x).

1.4. Đạo hàm:

   ()' = .ln a ⇒ ()' = u'..ln a

   ()' =  ⇒ ()' = .u'

1.5. Đồ thị: Nhận trục hoành làm đường tiệm cận ngang.

2. Hàm số logarit:

 y = x, (a > 0, a ≠ 1)

2.1 Tập xác định:

 D = (0; +∝)

2.2. Tập giá trị:

 T = R, nghĩa là khi giải phương trình logarit mà đặt t = x thì t không có điều kiện.

2.3. Tính đơn điệu:

      + Khi a > 1 thì y = x đồng biến trên D khi đó nếu: f(x) > g(x) ⇔ f(x) > g(x).

      + Khi 0 < a < 1 thì y = x nghịch biến trên D khi đó nếu f(x) > g(x) ⇔ f(x) < g(x).

2.4 Đạo hàm:

2.5. Đồ thị:

 Nhận trục tung làm đường tiệm cận đứng.

PHƯƠNG TRÌNH MŨ VÀ PHƯƠNG TRÌNH LÔGARIT

1. PHƯƠNG TRÌNH MŨ.

1.1. Phương trình mũ cơ bản

 = b (a > 0, a ≠ 1).

   ● Phương trình có một nghiệm duy nhất khi b > 0 .

   ● Phương trình vô nghiệm khi b ≤ 0 .

1.2. Biến đổi, quy về cùng cơ số

 =  ⇔ a = 1 hoặc  .

1.3. Đặt ẩn phụ

   f[] = 0 ( 0 < a ≠ 1) ⇔ .

   Ta thường gặp các dạng:

   ● m. + n. + p = 0

   ● m. + n. + p = 0, trong đó a.b = 1. Đặt t = . t > 0, suy ra  = 1/t.

   ● m. + n. + p. = 0. Chia hai vế cho  và đặt  = t > 0.

1.4. Logarit hóa

   ● Phương trình  .

   ● Phương trình  =  ⇔  =  ⇔ f(x) = g(x).b

   hoặc  =  ⇔ f(x).a = g(x)

1.5. Giải bằng phương pháp đồ thị

   o Giải phương trình:  = f(x) (0 < a ≠ 1) (*) .

   o Xem phương trình (*) là phương trình hoành độ giao điểm của hai đồ thị y =  (0 < a ≠ 1) và y = f(x) . Khi đó ta thực hiện hai bước:

Bước 1

   -  Vẽ đồ thị các hàm số y =  (0 < a ≠ 1) và y = f(x) .

Bước 2

   -  Kết luận nghiệm của phương trình đã cho là số giao điểm của hai đồ thị.

1.6. Sử dụng tính đơn điệu của hàm số

Tính chất 1.

   o  Nếu hàm số y = f(x) luôn đồng biến (hoặc luôn nghịch biến) trên (a; b) thì số nghiệm của phương trình f(x) = k trên (a; b) không nhiều hơn một và f(u) = f(v) ⇔ u = v, ∀u, v ∈ (a; b).

Tính chất 2.

   o  Nếu hàm số y = f(x) liên tục và luôn đồng biến (hoặc luôn nghịch biến) ; hàm số y = g(x) liên tục và luôn nghịch biến (hoặc luôn đồng biến) trên D thì số nghiệm trên D của phương trình f(x) = g(x) không nhiều hơn một.

Tính chất 3.

   o  Nếu hàm số y = f(x) luôn đồng biến (hoặc luôn nghịch biến) trên D thì bất phương trình f(u) > f(v) ⇔ u > v (hoặc u < v), ∀u,v ∈ D.

1.7. Sử dụng đánh giá

   o Giải phương trình f(x) = g(x).

   o Nếu ta đánh giá được .

2. PHƯƠNG TRÌNH LÔGARIT

2.1. Biến đổi, quy về cùng cơ số

2.2. Đặt ẩn phụ

2.3. Mũ hóa hai vế

2.4. Phương pháp đồ thị

2.5. Sử dụng tính đơn điệu của hàm số

BẤT PHƯƠNG TRÌNH MŨ VÀ LÔGARIT

1. Bất phương trình mũ:

   • Khi giải bất phương trình mũ, ta cần chú ý đến tính đơn điệu của hàm số mũ.

. Tương tự với bất phương trình dạng: 

   • Trong trường hợp cơ số a có chứa ẩn số thì:

 >

 ⇔ (a - 1)(M - N) > 0 .

   • Ta cũng thường sử dụng các phương pháp giải tương tự như đối với phương trình mũ:

      + Đưa về cùng cơ số.

      + Đặt ẩn phụ.

      + Sử dụng tính đơn điệu 

2. Bất phương trình lôgarit:

   • Bất phương trình lôgarit cơ bản có dạng:

f(x) > b;

f(x) ≥ b;

f(x) < b;

f(x) ≤ b

Phương pháp giải bất phương trình lôgarit

   • Đưa về cùng cơ số

   - Nếu a > 1 thì

f(x) >

g(x) ⇔ 

   - Nếu 0 < a < 1 thì

f(x) >

g(x) ⇔ 

   • Đặt ẩn phụ

   • Mũ hóa