Sách Giải Bài Tập và SGK

Lý thuyết

Lý thuyết Cực trị hàm số

1. Định nghĩa:

   Cho hàm số y = f(x) xác định và liên tục trên khoảng (a; b) (có thể a là -∝; b là +∝) và điểm  ∈ (a; b) .

cực đại

   - Nếu tồn tại số h > 0 sao cho f(x) < f() với mọi x ∈ ( - h;  + h) và x ≠  thì ta nói hàm số f(x) đạt  tại  .

cực tiểu

   - Nếu tồn tại số h > 0 sao cho f(x) > f() với mọi x ∈ ( - h;  + h) và x ≠  thì ta nói hàm số f(x) đạt  tại  .

2. Điều kiện đủ để hàm số có cực trị:

   Giả sử hàm số y = f(x) liên tục trên K = ( - h;  + h) và có đạo hàm trên K hoặc trên K \ {}, với h > 0 .

   - Nếu f'(x) > 0 trên khoảng ( - h; ) và f'(x) < 0 trên (;  + h) thì  là một điểm cực đại của hàm số f(x).

   - Nếu f'(x) < 0 trên khoảng ( - h; ) và f'(x) > 0 trên (;  + h) thì  là một điểm cực tiểu của hàm số f(x).

Minh họa bằng bảng biến thiến

Chú ý:

giá trị cực đại (giá trị cực tiểu), điểm cực đại (điểm cực tiểu)

   - Nếu hàm số y = f(x) đạt cực đại (cực tiểu) tại  thì  được gọi là điểm cực đại (điểm cực tiểu) của hàm số; f() được gọi là  của hàm số, kí hiệu là () , còn điểm M(; f()) được gọi là điểm cực trị, cực đại (cực tiểu), cực trị của đồ thị hàm số.

   - Các điểm cực đại và cực tiểu được gọi chung là . Giá trị cực đại (giá trị cực tiểu) còn gọi là  và được gọi chung là  của hàm số.

B. Kĩ năng giải bài tập

1. Quy tắc tìm cực trị của hàm số

Quy tắc 1:

Bước 1. Tìm tập xác định của hàm số.

Bước 2. Tính f'(x) . Tìm các điểm tại đó f'(x) bằng 0 hoặc f'(x) không xác định.

Bước 3. Lập bảng biến thiên.

Bước 4. Từ bảng biến thiên suy ra các điểm cực trị.

Quy tắc 2:

Bước 1. Tìm tập xác định của hàm số.

Bước 2. Tính f'(x). Giải phương trình f'(x) và ký hiệu  (i = 1; 2; 3;...) là các nghiệm của nó.

Bước 3. Tính f"(x) và f"().

Bước 4. Dựa vào dấu của f"() suy ra tính chất cực trị của điểm .

2. Kỹ năng giải nhanh các bài toán cực trị hàm số bậc ba y = ax3 + bx2 + cx + d (a ≠ 0)

   Ta có y'=  + 2bx + c

   - Đồ thị hàm số có hai điểm cực trị khi phương trình y' = 0 có hai nghiệm phân biệt ⇔  - 3ac > 0. Khi đó đường thẳng qua hai điểm cực trị đó là : .

   - Bấm máy tính tìm ra đường thẳng đi qua hai điểm cực trị :

   Hoặc sử dụng công thức .

   - Khoảng cách giữa hai điểm cực trị của đồ thị hàm số bậc ba là:

3. Kỹ năng giải nhanh các bài toán cực trị hàm trùng phương.

   Cho hàm số: y =  +  + c (a ≠ 0) có đồ thị là (C).

   (C) có ba điểm cực trị y' = 0 có 3 nghiệm phân biệt .

   Khi đó ba điểm cực trị là:  với Δ =  - 4ac

   Độ dài các đoạn thẳng: .

   Các kết quả cần ghi nhớ:

   - ΔABC vuông cân ⇔  =  +

   - ΔABC đều ⇔  =

   -  , ta có: 

   - 

   - Bán kính đường tròn ngoại tiếp ΔABC là 

   - Bán kính đường tròn nội tiếp ΔABC là 

   - Phương trình đường tròn ngoại tiếp ΔABC là: 

C. Kĩ năng sử dụng máy tính

Ví dụ 1:

 Tìm đường thẳng đi qua hai điểm cực trị của đồ thị hàm số: y =  +  - x + 2

Hướng dẫn:

   Bấm máy tính: MODE 2

Ví dụ 2:

 Tìm đường thẳng đi qua hai điểm cực trị ( nếu có ) của đồ thị hàm số: y =  -  + x + m

Hướng dẫn:

   Bấm máy tính: MODE 2

   Ta có:

   Vậy đường thẳng cần tìm: