Câu hỏi 11:

a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số

b) Chứng minh rằng với mọi giá trị của đường thẳng y = 2x + m luôn cắt (C) tại hai điểm phân biệt M và N.

c) Xác định m sao cho độ dài MN nhỏ nhất.

d) Tiếp tuyến tại một điểm S bất kì của C cắt hai tiệm cận của C tại P và Q. Chứng minh rằng S là trung điểm của PQ.

Lời giải:

a) Khảo sát hàm số

- TXĐ: D = R \ {-1}

- Sự biến thiên:

+ Chiều biến thiên:

⇒ Hàm số nghịch biến trên các khoảng (-∞; -1) và (-1; +∞).

+ Cực trị: Hàm số không có cực trị.

+ Tiệm cận:

⇒ x = -1 là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số.

⇒ y = 3 là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số.

+ Bảng biến thiên:

- Đồ thị:

+ Giao với Ox: (-3; 0)

+ Giao với Oy: (0; 3)

+ Đồ thị hàm số nhận (-1; 1) là tâm đối xứng.

b) Phương trình hoành độ giao điểm của (C) và đường thẳng (d) y = 2x + m là:

⇔ (2x + m)(x + 1) = x + 3

⇔ + mx + 2x + m = x + 3

⇔ + (m + 1)x + m – 3 = 0 (*)

Để (d) cắt (C) tại hai điểm phân biệt khi và chỉ khi (*) có hai nghiệm phân biệt

⇔ (*) có hai nghiệm phân biệt

⇔ Δ = – 8(m – 3) > 0

⇔ – 6m + 25 > 0

⇔ + 16 > 0

Đúng với ∀ m ∈ R.

Vậy với mọi m ∈ R, (d) cắt (C) tại hai điểm phân biệt MN.

c) Gọi M(; ); N(; )

⇒ ; là nghiệm của phương trình (*).

Theo hệ thức Vi-et ta có :

Dấu "=" xảy ra ⇔ m - 3 = 0 ⇔ m = 3

Vậy độ dài MN nhỏ nhất khi m = 3.

d) Gọi là điểm thuộc (C).

+ Phương trình tiếp tuyến (d) của (C) tại S là:

+ Giao điểm của (d) với tiệm cận đứng x = -1 là:

Tại x = -1 thì

⇒ Giao điểm

+ Giao điểm của (d) với tiệm cận ngang y=1:

Tại y = 1

⇒ Giao điểm Q( + 1; 1)

Ta có:

⇒ S là trung điểm PQ (đpcm).