Câu hỏi 1:

Tìm hàm số F(x) sao cho F’(x) = f(x) nếu:

a) f(x) = với x ∈ (-∞; +∞);

b) f(x) = 1/ với x ∈ ((-π)/2; π/2).

Lời giải:

F(x) = vì ()' =

F(x) = tanx vì (tanx)' = 1/ .

Câu hỏi 2:

Hãy tìm thêm những nguyên hàm khác của các hàm số nêu trong Ví dụ 1.

Lời giải:

(x) = + 2 do (F(x))'=( + 2)’ = 2x + 0 = 2x. Tổng quát F(x) = + c với c là số thực.

F(x) = lnx + 100, do (F(x))’ = 1/x , x ∈ (0,+∞). Tổng quát F(x)= lnx + c, x ∈ (0,+∞) và với c là số thực.

Câu hỏi 3:

Hãy chứng minh Định lý 1.

Lời giải:

Vì F(x) là nguyên hàm của f(x) trên K nên (F(x))' = f(x). Vì C là hằng số nên (C)’ = 0.

Ta có:

(G(x))' = (F(x) + C)' = (F(x))' + (C)' = f(x) + 0 = f(x)

Vậy G(x) là một nguyên hàm của f(x).