Câu 5:

Chứng minh các bất đẳng thức sau:

Lời giải:

a) Xét hàm số y = f(x) = tanx – x trên khoảng (0; π/2)

Ta có: y’ = > 0 với ∀ x ∈ R.

⇒ hàm số đồng biến trên khoảng (0; π/2)

⇒ f(x) > f(0) = 0 với ∀ x > 0

hay tan x – x > 0 với ∀ x ∈ (0; π/2)

⇔ tan x > x với ∀ x ∈ (0; π/2) (đpcm).

b) Xét hàm số y = g(x) = tanx - x - trên

Theo kết quả câu a): tanx > x ∀ x ∈

⇒ g'(x) > 0 ∀ x ∈

⇒ y = g'(x) đồng biến trên

⇒ g(x) > g(0) = 0 với ∀ x ∈

Kiến thức áp dụng

+ Hàm số y = f(x) có đạo hàm trên khoảng K xác định:

Nếu f’(x) < 0 với mọi x ∈ K thì hàm số f(x) nghịch biến trên K.

Nếu f’(x) > 0 với mọi x ∈ K thì hàm số f(x) đồng biến trên K.

+