Câu 3:

Chứng minh hàm số \(y=\sqrt{|x|}\) không có đạo hàm tại x = 0 nhưng vẫn đạt được cực tiểu tại điểm đó.

Lời giải:

Hàm số có tập xác định D = R và liên tục trên R.

+ Chứng minh hàm số không có đạo hàm tại x = 0.

Xét giới hạn :

⇒ Không tồn tại giới hạn

Hay hàm số không có đạo hàm tại x = 0.

+ Chứng minh hàm số đạt cực tiểu tại x = 0 (Dựa theo định nghĩa).

Ta có : f(x) > 0 = f(0) với ∀ x ∈ (-1 ; 1) và x ≠ 0

⇒ Hàm số y = f(x) đạt cực tiểu tại x = 0.

Kiến thức áp dụng

Hàm số y = f(x) liên tục trên (a ; b) và ∈ (a ; b).

+ Hàm số y = f(x) có đạo hàm tại nếu tồn tại giới hạn

+ Hàm số y = f(x) đạt cực tiểu tại nếu tồn tại số dương h sao cho f(x) > f() với ∀ x ∈ ( – h ; + h) và x ≠ .