Câu 1:

Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của các hàm số bậc ba sau:

a) y = 2 + 3x - ;

b) y = + + 4x

c) y = + + 9x ;

d) y = - + 5

Lời giải:

a) Hàm số y = -x3 + 3x + 2.

1) Tập xác định: D = R

2) Sự biến thiên:

+ Chiều biến thiên:

y' = - + 3.

y' = 0 ⇔ x = ±1.

Trên các khoảng (-∞; -1) và (1; +∞), y’ < 0 nên hàm số nghịch biến.

Trên (-1 ; 1), y’ > 0 nên hàm số đồng biến.

+ Cực trị :

Hàm số đạt cực đại tại x = 1, = 4 ;

Hàm số đạt cực tiểu tại x = -1 ; = 0.

+ Giới hạn:

+ Bảng biến thiên:

3) Đồ thị:

Ta có : 2 + 3x – = 0 ⇔

Vậy giao điểm của đồ thị với trục Ox là (2; 0) và (-1; 0).

y(0) = 2 ⇒ giao điểm của đồ thị với trục Oy là (0; 2).

Đồ thị hàm số :

b) Hàm số y = x3 + 4x2 + 4x.

1) Tập xác định: D = R

2) Sự biến thiên:

+ Chiều biến thiên:

y' = + 8x + 4.

Trên các khoảng (-∞; -2) và ( ; +∞), y’ > 0 nên hàm số đồng biến.

Trên (-2 ; ), y’ < 0 nên hàm số nghịch biến.

+ Cực trị :

Hàm số đạt cực đại tại x = -2, = 0 ;

Hàm số đạt cực tiểu tại x = ; =

+ Giới hạn:

+ Bảng biến thiên:

3) Đồ thị:

+ Ta có : + + 4x = 0

⇔ x = 0 ⇔

Vậy giao điểm của đồ thị với trục Ox là (0; 0) và (-2; 0).

+ y(0) = 0 ⇒ giao điểm của đồ thị với trục Oy là (0; 2).

+ y(-3) = -3 ⇒ (-3; -3) thuộc đồ thị hàm số

y(-1) = -1 ⇒ (-1; -1) thuộc đồ thị hàm số

Đồ thị hàm số :

c) Hàm số y = x3 + x2 + 9x.

1) Tập xác định: D = R

2) Sự biến thiên:

+ Chiều biến thiên:

y' = + 2x + 9 > 0

⇒ Hàm số luôn đồng biến trên R.

+ Hàm số không có cực trị.

+ Giới hạn:

+ Bảng biến thiên:

3) Đồ thị hàm số.

+ Đồ thị hàm số cắt trục Ox tại (0 ; 0).

+ Đồ thị hàm số đi qua (1; 11) ; (-1; -9)

d) Hàm số y = -2x3 + 5.

1) Tập xác định: D = R

2) Sự biến thiên:

+ Chiều biến thiên:

y' = - ≤ 0 ∀ x ∈ R

⇒ Hàm số luôn nghịch biến trên R.

+ Cực trị: Hàm số không có cực trị.

+ Giới hạn:

+ Bảng biến thiên:

3) Đồ thị:

+ Đồ thị hàm số cắt trục tung tại (0; 5).

+ Đồ thị hàm số đi qua (1; 3) và (-1; 7).

Kiến thức áp dụng

Các bước khảo sát hàm số và vẽ đồ thị:

1, Tìm tập xác định.

2, Khảo sát sự biến thiên

+ Tính y’

⇒ Chiều biến thiên của hàm số.

+ Tìm cực trị.

+ Tính các giới hạn

Từ đó suy ra Bảng biến thiên.

3, Vẽ đồ thị hàm số.