Sách Giải Bài Tập và SGK
Mục lục
Câu 9: Trong không gian tọa độ Oxyz, cho đường thẳng Δ có phương trình: (x-1)/2 = (y+1)/(-1) = z/3
Câu 9:
Trong không gian tọa độ Oxyz, cho đường thẳng Δ có phương trình
a) Viết phương trình hình chiếu của Δ trên các mặt phẳng tọa độ.
b) Chứng minh rằng mặt phẳng: x+5y+z+4=0 đi qua Δ.
c) Tính khoảng cách giữa đường thẳng Δ và các trục tọa độ.
d) Viết phương trình đường vuông góc chung của Δ và đường thẳng Δ':x=y=z
e) Viết phương trình đường thẳng song song với Oz, cắt cả ∆ và ∆’.
Lời giải:
a) Mặt phẳng chứa Δ và vuông góc với mp(Oxy) có phương trình là:
x+2y+1=0
Vậy hình chiếu vuông góc của Δ lên mp(Oxy) có phương trình là:
Tương tự, hình chiếu vuông góc của Δ lên mp()yz) và (Oxz) có phương trình là:
b) Δ đi qua (1; -1;0) và có vectơ pháp tuyến \(\vec{u}\)=2;-1; 3 ta thấy:
suy ra Δ nằm trên mp: x+5y+z+4=0
Cách khác: ta thấy tọa độ 2 điểm (1; -1;0) và
(3; -2;3) thõa mãn phương trình mp: x+5y+z+4=0 nên Δ thuộc mặt phẳng đã cho.
c) Khoảng cách giữa Δ và trục Ox được xác định như sau:
Trong đó \(\vec{u}\)=(2; -1;3) là vectơ chỉ phương của Δ
\(\vec{i}\)=(1;0;0)là vectơ chỉ phương của Ox.
(1; -1;0) ∈Δ,O(0;0;0) là gốc tọa dộ.
Ta có [u\(\vec{X}\), \(\vec{i}\)]=(0;3;1),O$\vec{M0}$=(1; -1;0)
d) Đường thẳng Δ đi qua (1; -1;0) có vectơ chỉ phương \(\vec{u}\)=(2; -1;3)
Δ' đi qua '(0;0;0) có vectơ chỉ phương \(\vec{u'}\)=(1;1;1)
Gọi d là đường vuông góc chung của ∆ và ∆’.
Giả sử d cắt ∆, ∆’ lần lượt tại A(1+ 2a, -1- a,3a) và B( b, b,b)
⇒ \(\overrightarrow{A B}\) (b-1- 2a, b+1+ a, b- 3a)
Do d vuông góc với ∆ và ∆’ nên ta có:
e) Đường thẳng cần tìm là giao tuyến của (α) và (β); trong đó, (α) là mặt phẳng chứa Δ và (α) song song với Oz.
(β) là mặt phẳng chứa Δ' và (β) song song với Oz.
Phương trình của (α) là: x+2y+1=0
Phương trình của (β) là: x-y=0
Suy ra Phương trình đường thẳng cần tìm là: