Sách Giải Bài Tập và SGK
Mục lục
Câu 9: Tìm diện tích mặt cầu ngoại tiếp hình chóp SABC biết SA = a, SB = b, SC đôi một vuông góc. Chứng minh rằng các điểm S, G, I thẳng hàng, trong đó G là trọng tâm tam giác ABC và I là tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABC.
Câu 9:
Tìm diện tích mặt cầu ngoại tiếp hình chóp SABC biết SA = a, SB = b, SC = c và ba cạnh Sa, SB, SC đôi một vuông góc. Chứng minh rằng các điểm S, G, I thẳng hàng, trong đó G là trọng tâm tam giác ABC và I là tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABC.
Lời giải:
Gọi J là trung điểm của AB. Vì tam giác SAB vuông ở đỉnh S nên JS = JA = IB (hình vẽ bên)
Gọi Δ là đường thẳng vuông góc với mặt phẳng (SAB) tại J thì mọi điểm của đường Δ đều cách 3 điểm S, A, B. Bởi vậy nếu gọi I là giao điểm của Δ với mặt phẳng trung trực của đoạn SC thì I các đều 4 điểm S, A, B, C.
Vậy mặt cầu ngoại tiếp hình chóp có tâm I, bán kính R = IA.
Diện tích mặt cầu bằng: S = 4π=π(
+
+
)
+ Do SC// IJ nên 4 điểm S, C, I và J đồng phẳng.
Trong mp (SCIJ), gọi SI cắt CJ tại điểm G.
Áp dụng hệ quả định lí ta - let ta có:
Lại có: CJ là đường trung tuyến nên G là trọng tâm tam giác ABC.