Câu 9:

Chứng minh rằng các phép tịnh tiến, đối xứng trục, đối xứng tâm là những phép dời hình.

Lời giải:

• Phép tịnh tiến là phép dời hình.

Nếu phép tính tiến v→ biến hai điểm M, N lần lượt thành M’, N’ thì

Suy ra M’N’ = MN hay phép tịnh tiến là một phép dời hình.

• Phép đối xứng trục là phép dời hình.

Cách 1. Gọi Đ là phép đối xứng qua đường thẳng d

Giả sử I là trung điểm MN’, J là trung điểm của NM’

Suy ra I, J ∈ d

Ta có:

Từ (1), (2), (3) suy ra ==>MN=M'N'

=> Vậy phép đối xứng trục là phép dời hình.

Cách 2. Giả sử phép đối xứng qua đường thẳng d biến M thành M’, N thành N’

Gọi (P) là mặt phẳng chứa NM’ và (P) // MM’

,' lần lượt là hình chiếu của M, M’ trên (P); O = ∩(P). Ta có d ⊥ (P) nên O đồng thời là trung điểm của ' và NN'. Vậy phép đối xứng tâm O biến thành ', N thành N’ nên ' nên N='N'.

Mặt khác N,'N' lần lượt là hình chiếu của MN, M’N’ trên (P), MM’ // (P) nên MN = M’N’.

Vậy phép đối xứng qua đường thẳng là phép dời hình.

• Phép đối xứng tâm là phép dời hình.

Nếu phép đối xứng tâm O biến hai điểm M, N lần lượt thành M’, N’ thì

Vậy phép đối xứng tâm là phép dời hình.