Sách Giải Bài Tập và SGK

Câu 8: Trong không gian tọa độ Oxyz cho các điểm A(1; 5; 3); B(4; 2; -5); C(5; 5; -1) và D(1; 2; 4)

Câu 8:

Trong không gian tọa độ Oxyz cho các điểm A(1; 5; 3); B(4; 2; -5); C(5; 5; -1) và D(1; 2; 4)

a) Chứng tỏ rằng 4 điểm A, B, C, D không thẳng hàng.

b) Viết phương trình mặt cầu (S) đi qua A, B, C, D. Xác định tâm và tính bán kính mặt cầu đó.

c) Viết phương trình mặt phẳng đi qua 3 điểm A, B, C và tìm khoảng cách từ điểm D tới mặt phẳng đó.

d) Viết phương trình mặt phẳng vuông góc với CD và tiếp xúc với mặt cầu (S).

e) Tìm bán kính các đường tròn giao tuyến của mặt cầu (S) và các mặt phẳng tọa độ.

Lời giải:

a) Ta có (3; -3; -8); (4;0; -4); (0; -3;1);[; ]= ( 12, -20, 12)

[, ].=72 ≠ 0 nên A, B, C, D không đồng phẳng.

b) Giả sử mặt cầu (S) có phương trình ++=

Vì mặt cầu (S) đi qua A, B, C, D nên ta có hệ:

Vậy phương trình của (S) là: ++=25

Tâm của (S) là I = (1; 2; -1), bán kính là R = 5.

c) Mặt phẳng ABC đi qua A(1; 5; 3) và nhận vectơ: [,]=(12; -20;12) làm vectơ pháp tuyến nên có phương trình là:

12(x-1)-20(y-5)+12(z-3)=0

<=> 3x-5y+3z+13=0

d) Mặt phẳng () vuông góc với CD là mặt phẳng có vectơ pháp tuyến =(-4; -3;5) nên có phương trình dạng: -4x-3y+5z+D=0

vì () tiếp xúc với mặt cầu (S) có tâm I(1; 2; -1) và R=5

vậy có hai mặt phẳng (α) là: -4x-3y+5z+15+25√2 = 0 và

-4x-3y+5z+15-25√2=0

e) Bán kính của đường tròn giao tuyến của mp(P) với mặt cầu (S) là:

trong đó R là bán kính của (S), h = d(I, (P))

Nếu mp(P) là mp(Oxy) thì h = 1 => =√(24)=2√6

Nếu mp(P) là mp(Oyz) thì h = 1 => =√(24)=2√6

Nếu mp(P) là mp(Oxz) thì h = 2 => =√(21)