Sách Giải Bài Tập và SGK

Câu 8: Cho tứ diện ABCD, với AB= CD = c, AC = BD = b, AD = BC = a. a) Tính diện tích mặt cầu ngoại tiếp tứ diện.

Câu 8:

Cho tứ diện ABCD, với AB= CD = c, AC = BD = b, AD = BC = a.

a) Tính diện tích mặt cầu ngoại tiếp tứ diện.

b) Chứng minh rằng có một mặt cầu tiếp xức với bốn mặt cầu tư diện (nó được gọi là mặt cầu nội tiếp tứ diện).

Lời giải:

a) Gọi I, J lần lượt là trung điểm của AB và CD

Do ∆CAD = ∆DBC (c.c.c) nên AJ = BJ hay tam giác ABJ cân tại J. Lại có CJ là đường trung tuyến nên đồng thời là đường cao.

⇒ IJ ⊥ AB. Tương tự, IJ ⊥ CD

Gọi O là trung điểm của IJ thì OA = OB và OC = OD.

Do AB = CD = c nên hai tam giác vuông OIB và OJC bằng nhau nên OB = OC.

Vậy O cách đều 4 đỉnh A, B, C, D

Mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD có tâm O, bán kính R = OA.

Ta có:

Vì CI là trung tuyến của tam giác ABC nên

và diện tích mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD là

b) Các mặt của tứ diện là tam giác bằng nhau (đều có ba cạnh là a, b, c) nên các đường tròn ngoại tiếp các tam giác đó có bán kính r bằng nhau. Các đường tròn đó đều nằm trên mặt cầu (O, R) nên khoảng cách từ tâm O tới các mặt phẳng chứa các đường tròn đó bằng nhau và bằng

Vậy mặt cầu tâm O bán kính h là mặt cầu nội tiếp tứ diện ABCD.