Câu 7:

Cho hai đường thẳng:

a) Chứng minh rằng d và d’ chéo nhau và vuông góc với nhau.

b) Viết phương trình mp(P) đi qua d và vuông góc với d’, phương trình của mp(Q) đi qua d’ và vuông góc với d.

c) Viết phương trình chính tắc của đường vuông góc chung của d và d’

Lời giải:

Đường thẳng d đi qua M(0; 3; 6) và có vectơ chỉ phương =(1;0;1)

d’ đi qua M'(2;1;2) và có vectơ chỉ phương =(1; -1; -1)

a) Ta có [, ]=(1;2; -1);=(2; -2; -4) nên [,].=2 ≠ 0 nên d và d’ chéo nhau.

Mặt khác . =0 nên d và d’ vuông góc với nhau.

b) Mặt phẳng (P) đi qua d và vuông góc với d’ nên (P) đi qua điểm M(0; 3; 6) ∈ d và nhận vectơ chỉ phương của d’ là =(1; -1; -1) làm vectơ pháp tuyến. Vậy mp(P) có phương trình là:

(x-0)-(y-3)-(z-6)=0 <=> x-y-z+9=0

Tương tự, ta viết được phương trình mặt phẳng (Q) là: x + z – 4 = 0

c) Vì d và d’ vuông góc với nhau nên đường thẳng vuông góc chung Δ) của d và d’ chính là giao tuyến của (P) và (Q). Theo câu b, ta có phương trình tổng quát của (Δ) là:

Chuyển về phương trình chính tắc ta được.