Câu 5:

Cho hai đương thẳng:

a) Chứng minh hai đường thẳng chéo nhau. Tìm góc giữa chúng.

b) Tìm khoảng cách giữa d và d’.

c) Viết phương trình vuông góc chung của d và d’.

d) Viết phương trình đường thẳng song song với Oz, cắt cả d và d’.

Lời giải:

Giải

Đường thẳng d đi qua M(0; 1; 6) và có vectơ chỉ phương =(1,2,3)

d’ đi qua M’(1; -2; 3) và có vectơ chỉ phương =(1;1; -1)

a) Ta có =(1; -3; -3),[, ]=(-5;4; -1)

Suy ra [, ].=-14 ≠ 0 nên d và d’ chéo nhau.

Ta có

Vậy d ⊥ d'.

b) Ta có [, ]=(-5;4; -1),[, ].=-14 (theo câu a)

c) Theo câu a, ta có d⊥d', vậy đường vuông góc của d và d’chính là giao tuyến của mp(P) và mp(Q). Trong đó mp(P) chứa d và vuông góc với d’, mp(Q) chứa d’ và vuông góc với d.

phương trình mp(P) là: 1(x-0)+1(y-1)-1(z-6)=0

<=> x+y-z+5=0

phương trình mp(Q) là: 1(x-1)+2(y-2)+3(z-3)=0

<=> x+2y+3z-6=0

Vậy phương trình đường vuông góc chung của d và d’ là:

hoặc có phương trình tham số là:

d) Đường thẳng song song với Oz và cắt cả d và d’ là giao tuyến của mp(α) và mp(β);

Trong đó (α) là mặt phẳng chứa d và song song với Oz.

(β) là mặt phẳng chứa d’ và song song với Oz.

Đường thẳng Oz có vectơ chỉ phương là =(0;0;1)

Mặt phẳng (α) đi qua M(0; 1; 6) và nhận [,]=(2; -1;0) làm vectơ pháp tuyến nên α có phương trình là: 2x-y+1=0

Tương tự mp(β) có phương trình: x – y- 3 =0

Vậy phương trình đường thẳng cần tìm là:

Hay có phương trình tham số là: