Câu 4:

Biết \(|\vec{u}|=2 ;|\vec{v}|=5\), góc giữa vectơ \(\vec{u}\) và \(\vec{v}\) bằng \(\frac{2 \pi}{3}\). Tìm \(\mathrm{k}\) để vectơ \(\vec{p}=k \vec{u}+17 \vec{v}\) vuông góc với vectơ \(\vec{q}=3 \vec{u}-\vec{v}\)

Lời giải:

Ta có

\(\begin{aligned} &\cos (\vec{u}, \vec{v})=\cos \frac{2 \pi}{3}=-\frac{1}{2} \\ &\Rightarrow \vec{u} \cdot \vec{v}=|\vec{u}| \cdot|\vec{v}| \cdot \cos (\vec{u}, \vec{v}) \\ &=2 \cdot 5 \cdot\left(-\frac{1}{2}\right)=-5 \end{aligned}\)

\(\vec{p} \perp \vec{q} \Leftrightarrow \vec{p} \cdot \vec{q}=0\)

\(\Leftrightarrow(k \vec{u}+17 \vec{v})(3 \vec{u}-\vec{v})=0\)

\(\Leftrightarrow 3 k|\vec{u}|^{2}-17|\vec{v}|^{2}+(51-k) \vec{u} \cdot \vec{v}=0\)

\(\Leftrightarrow 3 k \cdot 4-17.25+(51-k) \cdot(-5)=0\)

\(\Leftrightarrow 17 k-680=0\)

\(\Leftrightarrow k=40\)

Vậy với k \(=40\) thì \(\vec{p} \perp \vec{q}\)