Sách Giải Bài Tập và SGK

Câu 3: Cho khối tứ diện ABCD, E và F lần lượt là trung điểm của hai cạnh AB và CD. Hai mp(ABF) và (CDE) chia khối tứ diện ABCD thành 4 khối tứ diện.

Câu 3:

Cho khối tứ diện ABCD, E và F lần lượt là trung điểm của hai cạnh AB và CD. Hai mp(ABF) và (CDE) chia khối tứ diện ABCD thành 4 khối tứ diện.

a) Kể tên bốn khối tứ diện.

b) Chứng tở rằng bốn khối tứ diện đó có thể tích bằng nhau.

c) Chứng tỏ rằng nếu ABCD là khối tứ diện đều thì bốn khối tứ diện nói trên bằng nhau.

Lời giải:

a) Hai mp( ABF) và (CDE) chia khối tứ diện ABCD thành 4 khối tứ diện là:

BCEF, ACEF, BDEF, ADEF.

b) Do E là trung điểm của AB nên =

= = (1)

Tương tự = = (2)

Từ (1) và (2), suy ra: ===

c) Nếu ABCD là khối tứ diện đều thì (CED), (ABF) là các mặt phẳng đối xứng của tứ diện.

Cách 1.

Ta có: phép đối xứng qua (ABF) biến tứ diện BCEF thành tứ diện ADEF; biến tứ diện ACEF thành ADEF (1)

(1).

Phép đối xứng qua (CED) biến tứ diện DBEF thành tứ diện CAEF ; biến tứ diện BDEF thành ACEF. (2)

Từ (1) và (2) suy ra các tứ diện BCEF, ACEF, ADEF, BDEF bằng nhau.

Cách 2. Thực hiện phép đối xứng qua mặt phẳng (ABF).

Ta có: tứ diện BCEF biến BDEF, AECF biến thành AEDF (1)

Do EF là trục đối xứng qua đường thẳng EF biến tứ diện BCEF thành ADEF (2)

Từ (1) và (2) đpcm.