Câu 23:

Viết phương trình mặt phẳng song song với mặt phẳng 4x + 3y – 12z + 1 = 0 và tiếp xúc với mặt cầu phương trình: x² + y² + z² - 2x - 4y - 6z - 2 = 0

Lời giải:

Mặt cầu: x² + y² + z² - 2x - 4y - 6z - 2 = 0 có tâm I(1, 2, 3), bán kính R = 4. Mặt phẳng cần tìm song song với mặt phẳng 4x+3y-12z+1=0 nên phương trình mặt phẳng đó có dạng: 4x+3y-12z+D=0 (α)

Vì mp(α) tiếp xúc với mặt cầm tâm I(1, 2, 3), bán kính R = 4 nên ta có:

d(I,α)=R

\(d=\frac{|4+6-36+D|}{\sqrt{16+9+144}}=4\)

\(\Leftrightarrow \frac{|-26+D|}{13}=4\)

\(\Leftrightarrow\left[\begin{array}{l}-26+D=52 \\ -26+D=-52\end{array}\right.\)

\(\Leftrightarrow\left[\begin{array}{l}D=78 \\ D=-26\end{array}\right.\)

Vậy mặt phẳng cần tìm có phương trình là: 4x+3y-12z+78=0 hoặc 4x+3y-12z-26=0