Sách Giải Bài Tập và SGK

Câu 22: Cho tứ diện OABC có tam giác OAB, OBC, OCA là các tam giác vuông đỉnh O, gọi α,β,γ lần lượt là các góc giữa mặt phẳng (ABC) và các mặt phẳng (OBC), (OCA), (OAB). Bằng phương pháp tọa độ hãy chứng minh.

Câu 22:

Cho tứ diện OABC có tam giác OAB, OBC, OCA là các tam giác vuông đỉnh O, gọi α,β,γ lần lượt là các góc giữa mặt phẳng (ABC) và các mặt phẳng (OBC), (OCA), (OAB). Bằng phương pháp tọa độ hãy chứng minh.

a) Tam giác ABC có ba góc nhọn

b) ⁡α+⁡⁡β+⁡γ=1

Lời giải:

Chọn hệ trục tọa độ Oxyz sao cho: O = (0, 0, 0); A = (a, 0, 0); B = (0, b, 0); C = (0, 0, c)

a) Ta có:

=(-a,b,0),=(-a,0,c) nên

Vậy ΔABC có ba góc nhọn (đpcm)

b) Mặt phẳng (ABC) có vectơ pháp tuyến là: n→=[, ]=(bc,ac,ab).

Các mặt phẳng (OBC), (OAC), (OAB) lần lượt có vectơ pháp tuyến là

=(1,0,0), =(0,1,0),=(0,0,1) nên ta có: