Sách Giải Bài Tập và SGK

Câu 21: Cho điểm M nằm trong hình tứ diện đều ABCD. Chứng minh rằng tổng các khoảng cách từ M tới bốn mặt của hình tứ diện là một số không phụ thuộc vào vị trí của điểm M.

Câu 21:

Cho điểm M nằm trong hình tứ diện đều ABCD. Chứng minh rằng tổng các khoảng cách từ M tới bốn mặt của hình tứ diện là một số không phụ thuộc vào vị trí của điểm M. Tổng đó bằng bao nhiêu nếu cạnh của tứ diện đều bằng a?

Lời giải:

Gọi ,,, lần lượt là khoảng các từ M đến (ABC), (ACD), (ABD), (BCD). Khối tứ diện ABCD được chia thành 4 khối tứ diện MABC, MACD, MABD, MBCD.

Ta có:

Lại vì ===

Nên =(1/3).S_ΔABC (+++) (1)

Gọi h là chiều cao của tứ diện đều, ta có:

Từ (1) và (2) có: +++=h

Vậy khoảng cách từ M đến 4 mặt của hình tứ diện là một số không phụ thuộc vào vị trí của M.

* Xét tứ diện đều ABCD có cạnh là a. Ta tính h.

Gọi là trực tâm của tam giác đều BCD và M là trung điểm của CD

Ta có: