Sách Giải Bài Tập và SGK

Câu 14: Chứng minh rằng: a) Tâm các mặt của khối lập phương cho trước là các đỉnh của một khối tám mặt đều.

Câu 14:

Chứng minh rằng:

a) Tâm các mặt của khối lập phương cho trước là các đỉnh của một khối tám mặt đều.

b) Tâm các mặt của một khối tám mặt đều cho trước là các đỉnh của khối lập phương.

Lời giải:

a) Xét khối lập phương ABCD.A’B’C’D’ cạnh a. Gọi , ,,,, lần lượt là tâm của các mặt phẳng ABCD, A’B’C’D’, ABB’A’, BCC’B’, CDD’C’, DAA’D.

Ta có: là trung điểm của BD, là trung điểm của A’B’ nên:

Tương tự: = = = = = = = = = = = = = = = (a√2)/2

Do đó, các tam giác ; ; ; ; ; ; ; là các tam giác đều cạnh

Chúng làm thành khối tám mặt đều (đpcm).

b) Xét khối tám mặt đều ABCDEF. Gọi , ,,,,, , lần lượt là trọng tâm của các mặt EAB, EBC, ECD, EDA, FAB, FBC, FCD, FDA.

- Gọi M, N lần lượt là trung điểm của AB, BC.

Ta có: , là trọng tâm ΔEAB, EBC nên:

=> // MN

=> // =

=> Tứ giác là hình bình hành.

Lại có: // BD, =BD/3 kết hợp (*) và lưu ý rằng.

AC = DB, AC ⊥ BD => =, nên tứ giác là hình vuông.

- Hoàn toàn tương ứng ta có: ,,,,, là các hình vuông.

Vậy , ,,,,, , là các đỉnh của một khối lập phương.