Sách Giải Bài Tập và SGK

Câu 13: Hai đỉnh của một khối tám mặt đều cho trước gọi là các đỉnh khối diện nếu chúng không thuộc cùng một cạnh của khối diện đó

Câu 13:

Hai đỉnh của một khối tám mặt đều cho trước gọi là các đỉnh khối diện nếu chúng không thuộc cùng một cạnh của khối diện đó. Đoạn thẳng nối hai đỉnh đối diện gọi là một đường chéo của khối tám mặt đều. Chứng minh rằng trong khối tám mặt đều:

a) Ba đường chéo cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường.

b) Ba đường chéo đôi một vuông góc.

c) Ba đường chéo bằng nhau.

Lời giải:

Xét khối 8 mặt đều ABCDEF cạnh a. Vì A, B, C, D cách đều E và F nên A, B, A, D cùng thuộc mặt phẳng trung trực của đoạn EF và do đó ABCD là hình thoi ( vì AB = BC = CD = DA)

Vì A, B, C, D cách đều E và F (EA = EB = EC = ED = FA = FB = FC = FD = a)

nên A, B, C, D cùng thuộc mặt phẳng trung trực của đoạn EF và ABCD là hình thoi (vì AB = BC = CD = DA = a)

a) Tứ giác ABCD là hình thoi nên AC và BD cắt nhau tại trung điểm O của mỗi đường.

Tương tự, AC và EF cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường.

Vậy AC, BD, EF cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường.

b) Tứ giác ABCD là hình thoi nên ta cũng có AC ⊥BD

Tương tự AC ⊥ EF, BD ⊥ EF.

Vậy AC, BD, EF đôi một vuông góc.

c) Cách 1. Dễ thấy ΔABD = ΔEBD (c-c-c) nên các trung tuyến tương ứng bằng nhau tức là AO = EO

=> AC = EF, tương tự, AC = BD.

Vậy AC = BD = EF (đpcm).

Cách 2. Vì EO ⊥ (ABCD) nên AO, OB là hình chiếu của EA, EB trên (ABCD)

Mà EA = EB ⇒ OA = OB ⇒ AC = DB.

Tương tự, AC = EF.

Vậy AC = BD = EF.