Sách Giải Bài Tập và SGK

Câu 12: Cho một khối tứ diện đều, hãy chứng minh rằng. a) Các trọng tâm của các mặt của nó là các đỉnh của một khối tứ diện đều.

Câu 12:

Cho một khối tứ diện đều, hãy chứng minh rằng.

a) Các trọng tâm của các mặt của nó là các đỉnh của một khối tứ diện đều.

b) Các trung điểm của các cạnh của nó là các đỉnh của một khối tám mặt đều

Lời giải:

a) Gọi G là trọng tâm của tứ diện ABCD.

Gọi A’, B’, C’, D’ lần lượt là trọng tâm của các tam giác BCD, ACD, ABD, ABC.

Theo tính chất của trọng tâm tứ diện đều, ta có:

Nên biến A, B, C, D lần lượt thành A’, B’, C’, D’

hay biến tứ diện ABCD thành tứ diện A’B’C’D’ nên A’B’C’D’ là tứ diện dều.

b) Xét tứ diện đều ABCD có độ dài cạnh là a. Gọi M, N, P, Q, E, F lần lượt là trung điểm của cạnh AB, BC, CD, DA, AC, BD.

* Xét tam giác ABC có M, E lần lượt là trung điểm của AB, AC

⇒ ME là đường trung bình của tam giác ABC nên

Chứng minh tương tự ta có:

Suy ra, tam giác MNE là tam giác đều.

* Chứng minh tương tự, các tam giác ENP,EQP, EMQ, MNF, FNP, FQP, FMQ là các tam giác đều.

* Các mặt này tạo thành khối đa diện có các đỉnh M, N, P, Q, E, F mà mỗi đỉnh là đỉnh chung của 4 cạnh.

Vậy M, N, P, Q, E, F là các đỉnh của một khối 8 mặt đều.