Sách Giải Bài Tập và SGK

Câu 11: Chứng minh rằng phép vị tự biến một đường thẳng a thành đường thẳng a’ song song a thành đường thẳng a'.

Câu 11:

Chứng minh rằng phép vị tự biến một đường thẳng a thành đường thẳng a’ song song a thành đường thẳng a’. hơn nữa (α) thành một mặt phẳng (α') song song hoặc trùng với α.

Lời giải:

- Do phép vị tự biến ba điểm thằng hành thành 3 điểm thằng hàng nên nó biến đường thẳng a thành a’. Hơn nữa a’ song song hoặc trùng với a

Thật vậy, trên a lấy điểm A, B; Giả sử biến A thành A’ biến B thành B’.

Ta có:

- Trường hợp 1: k = 1 và O ∈ a thì A’B’ = AB hay a = a’.

- Trường hợp 2: k ≠ 1 và O ∉ a thì A’B’ // AB hay a’ // a

Phép vị tự biến đường thẳng thành đường thẳng song song hoặc trùng với nó nên biến hai đường thẳng cắt nhau thành hai đường thẳng cắt nhau. Vậy nó biến mp() thành mặt phẳng ('). Hơn nữa mp(') song song hoặc trùng với mp(). Thật vậy:

- Nếu O ∈ () thì biến A ∈(α) thành A’ sao cho =k.

=> A'∈ OA hay A' ∈ mp() suy ra mp(') = mp().

- Nếu k =1 thì (A) = A’ hay ⇒ A ≡ A'

Vậy qua biến mp () thành mp(') = mp().

- Nếu O ∈ mp(α) và k ≠ 1. Trên mp(α) lấy hai đường thẳng a, b cắt nhau tại I.

Qua phép vị tự tâm O tỉ số k :

      + Biến hai đường thẳng a, b thành 2 đường thẳng a’, b’ song song hoặc trùng với a,b

      + Biến giao điểm I thành điểm I’ là giao điểm của hai đường thẳng a’ và b’.

      + Biến mp () thành mp(’) chứa hai đường thẳng a’và b’.

Suy ra, mp() // mp (’).